Математическое моделирование в социологии. Абзалилов Д.Ф. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

стационарные точки:
kx − axy = 0,
−ℓy + bxy = 0,
⇒
x = 0,
y = 0,
или
x =
ℓ
b
,
y =
k
a
,
8.4. Исследование стационарной точки модели “хищ-
ник–жертва”. Система (8.4) является нелинейной, содержащей пр о-
изведение xy. Для исследова ния стационарных точек на устойчивость
необходимо вначале линеаризовать систему.
Исследуем вначале точку x = y = 0. Вблизи этой точки x и y
являются малыми, а их произведение – xy является величиной второго
порядка малости, поэтому ей в системе (8.4) можно пренебречь. В
результате получим линейную систему
x
′
= kx,
y
′
= −ℓy,
которой с оо тв етствует матрица
k 0
0 −ℓ
!
Собственные числа этой матрицы легко находятся λ
1
= k, λ
2
= −ℓ.
Так как эти числа являются ве щественными и различных знаков, то
делаем вывод, что наша с та ционарная точка (0, 0) является седлом.
Рассмотрим те п ерь вторую точку x =
ℓ
b
, y =
k
a
. Вблизи этой
точки x и y являются не являются малыми, поэтому произведением
xy п р енебрегать нельзя . Введем новые переменные ex и ey: x = ex +
ℓ
b
,
y = ey +
k
a
. Подставим полученные выражения в (8.4):
ex
′
= −
aℓ
b
ey − aexey,
ey
′
=
bk
a
ex + bexey,
45
стационарные точки:
                                                      
     
     kx − axy = 0,               
                                  x = 0,               
                                                        x = ℓ ,
                                                             b
                              ⇒               или
     
     −ℓy + bxy = 0,              
                                  y = 0,               
                                                        y = k ,
                                                               a

    8.4. Исследование стационарной точки модели “хищ-
ник–жертва”. Система (8.4) является нелинейной, содержащей про-
изведение xy. Для исследования стационарных точек на устойчивость
необходимо вначале линеаризовать систему.
    Исследуем вначале точку x = y = 0. Вблизи этой точки x и y
являются малыми, а их произведение – xy является величиной второго
порядка малости, поэтому ей в системе (8.4) можно пренебречь. В
результате получим линейную систему
      
      
      x′ = kx,
     
     y ′ = −ℓy,

которой соответствует матрица
            !
       k 0
       0 −ℓ

Собственные числа этой матрицы легко находятся λ1 = k, λ2 = −ℓ.
Так как эти числа являются вещественными и различных знаков, то
делаем вывод, что наша стационарная точка (0, 0) является седлом.
                                             ℓ          k
    Рассмотрим теперь вторую точку x =       b,   y =   a.   Вблизи этой
точки x и y являются не являются малыми, поэтому произведением
xy пренебрегать нельзя. Введем новые переменные x           e + ℓb ,
                                                e и ye: x = x
y = ye + ka . Подставим полученные выражения в (8.4):
      
      
      xe′ = − aℓ ye − ae
                b       xye,
     
     ye′ =   bk
               axe+   be
                       xye,

                                  45

Страницы