Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Решаем характеристическое уравнение:
1 − k −3
3 1 − k
= 0 ⇒ k
1,2
= 1 ± 3i.
Поэтому x(t) = C
1
e
t
cos 3t + C
2
e
t
sin 3t. Теперь из первого уравнения системы
найдем y(t) =
1
3
(x − x
′
) = −C
2
e
t
cos 3t + C
1
e
t
sin 3t.
Пример 3. Решить систему
(
x
′
= 2x + y,
y
′
= −x + 4y.
Характеристическое уравнение этой системы имеет корень k = 3 кратности два.
Поэтому x(t) = C
1
e
3t
+ C
2
te
3t
. Из первого уравне ния найдем y(t) = x
′
− 2 x =
= (C
1
+ C
2
)e
3t
+ C
2
te
3t
.
16.1. Задания к теме. Решить следующие системы:
1.
(
x
′
= x + 2y,
y
′
= x.
2.
(
x
′
= 2x − y,
y
′
= y − 2x.
3.
(
x
′
= 3x − y,
y
′
= x + y.
4.
(
x
′
= 4x − y,
y
′
= 5x + 2y.
Ответы: 1. x(t) = 2C
1
e
2t
+ C
2
e
−t
, y(t) = C
1
e
2t
−C
2
e
−t
. 2. x(t) = C
1
e
3t
+
+ C
2
, y(t) = −C
1
e
3t
+ 2C
2
. 3. x( t) = e
2t
(C
1
+ C
2
t), y(t) = e
2t
(C
1
−C
2
+ C
2
t). 4.
x(t) = e
3t
(C
1
cos 2t + C
2
sin 2t), y(t) = e
3t
((C
1
−2C
2
) cos 2t + (C
2
+ 2C
1
) sin 2t).
45
Решаем характеристическое уравнение:

     1−k        −3
                      =0    ⇒     k1,2 = 1 ± 3i.
         3    1−k

Поэтому x(t) = C1 et cos 3t + C2et sin 3t. Теперь из первого уравнения системы
найдем y(t) = 13 (x − x′) = −C2 et cos 3t + C1et sin 3t.
    Пример 3. Решить систему
    (
      x′ = 2x + y,
         y ′ = −x + 4y.

Характеристическое уравнение этой системы имеет корень k = 3 кратности два.
Поэтому x(t) = C1e3t + C2te3t . Из первого уравнения найдем y(t) = x′ − 2x =
= (C1 + C2)e3t + C2te3t .
    16.1. Задания к теме. Решить следующие системы:
       (                (
          ′
         x = x + 2y,      x′ = 2x − y,
    1.               2.
          ′
         y = x.           y ′ = y − 2x.
         (                        (
             x′ = 3x − y,             x′ = 4x − y,
    3.                       4.
             y ′ = x + y.             y ′ = 5x + 2y.
    Ответы: 1. x(t) = 2C1e2t + C2 e−t , y(t) = C1e2t − C2e−t . 2. x(t) = C1e3t +
+ C2 , y(t) = −C1 e3t + 2C2. 3. x(t) = e2t (C1 + C2 t), y(t) = e2t (C1 − C2 + C2 t). 4.
x(t) = e3t (C1 cos 2t + C2 sin 2t), y(t) = e3t((C1 − 2C2) cos 2t + (C2 + 2C1) sin 2t).




                                            45

Страницы