Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 16. Системы двух линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
Решение системы предполагает, что мы должны найти 2 функции x(t) и
y( t), удовлетворяющие уравнениям
(
x
′
= p
11
x(t) + p
12
y( t),
y
′
= p
21
x(t) + p
22
y( t).
Характеристическое урав н ение д анной с ис темы имеет вид
p
11
− k p
12
p
21
p
22
− k
= 0.
Оно представляет собой к вадратное уравнение и оно имеет два корня k
1
и k
2
. О б-
щее решение x (t) находится п о этим корням так же, как и в 15.. Для нахождения
y( t) ис пользуется уравнение системы.
Пример 1. Решить систему
(
x
′
= 2x + y,
y
′
= 3x + 4y.
Решим харак теристическое уравнение
2 − k 1
3 4 − k
= 0 ⇒ k
2
− 6k + 5 = 0.
Оно имеет два различных корня: k
1
= 1, k
2
= 5. Поэтому x(t) = C
1
e
t
+ C
2
e
5t
.
Из первого уравнения
y( t) = x
′
− 2x = (C
1
e
t
+ 5C
2
e
5t
) − 2(C
1
e
t
+ C
2
e
5t
) = −C
1
e
t
+ 3C
2
e
5t
.
Ответ: x(t) = C
1
e
t
+ C
2
e
5t
, y(t) = −C
1
e
t
+ 3C
2
e
5t
.
Пример 2. Решить систему
(
x
′
= x − 3y,
y
′
= 3x + y.
44
§ 16.       Системы двух линейных однородных
            дифференциальных уравнений с постоянными
            коэффициентами

    Решение системы предполагает, что мы должны найти 2 функции x(t) и
y(t), удовлетворяющие уравнениям
     (
        x′ = p11x(t) + p12y(t),
        y ′ = p21x(t) + p22y(t).
    Характеристическое уравнение данной системы имеет вид

     p11 − k       p12
                          = 0.
        p21    p22 − k
Оно представляет собой квадратное уравнение и оно имеет два корня k1 и k2. Об-
щее решение x(t) находится по этим корням так же, как и в 15.. Для нахождения
y(t) используется уравнение системы.
    Пример 1. Решить систему
    (
      x′ = 2x + y,
        y ′ = 3x + 4y.
    Решим характеристическое уравнение

     2−k       1
                         =0   ⇒    k 2 − 6k + 5 = 0.
        3     4−k

Оно имеет два различных корня: k1 = 1, k2 = 5. Поэтому x(t) = C1 et + C2 e5t .
Из первого уравнения

    y(t) = x′ − 2x = (C1et + 5C2e5t ) − 2(C1et + C2 e5t ) = −C1et + 3C2e5t.

    Ответ: x(t) = C1 et + C2 e5t , y(t) = −C1 et + 3C2e5t .
    Пример 2. Решить систему
    (
      x′ = x − 3y,
        y ′ = 3x + y.

                                          44

Страницы