Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

г) Комплексные корни кратности m. В случае, когда характеристи-
ческое уравнение имеет два комплексно соп ряженных корня α ± iβ кратности
m, соответствующие этим корням частные решения соответствующего одно-
родного дифференциального уравнения имеют вид e
αx
cos βx, xe
αx
cos βx, . . . ,
x
m−1
e
αx
cos βx и ан алогичные решения с синусом: e
αx
sin βx, xe
αx
sin βx, . . . ,
x
m−1
e
αx
sin βx.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение y
(4)
+4y
′′′
+14y
′′
+20y
′
+
+ 25y = 0. Характеристическое уравнение можно представить в виде (k
2
+ 2k +
+ 5)
2
= 0, следовательно, корнями характер ис тического уравнения являются
числа −1±2i (кратности 2). Поэтому общим решение дифференциальног о урав-
нения будет функция y(x) = e
−x
(C
1
cos 2x +C
2
x cos 2x +C
3
sin 2x+C
4
x sin 2x).
15.1. Задания к теме. Решить уравнения:
1. y
′′
− 4y
′
+ 3y = 0, 2. y
′′
− 6y
′
+ 9y = 0, 3. y
′′
+ 4y = 0,
4. y
IV
− 16y = 0, 5. y
′′′
− 8y = 0, 6. 4y
IV
− 3y
′′
− y = 0,
7. y
′′
+ 3y
′
+ 2y = 0, 8. y
′′
+ 2y
′
+ 5y = 0, 9. y
IV
+ 8y
′′
+ 16y = 0,
Ответы: 1. y = C
1
e
x
+ C
2
e
3x
. 2. y = e
3x
(C
1
+ C
2
x). 3. y = C
1
cos 2x +
+ C
2
sin 2x. 4. y = C
1
e
2x
+ C
2
e
−2x
+ C
3
cos 2x + C
4
sin 2x. 5. y = C
1
e
2x
+
+ e
−x
(C
2
cos
√
3x + C
3
sin
√
3x). 6. y = C
1
e
x
+ C
2
e
−x
+ C
3
cos
x
2
+ C
4
sin
x
2
. 7.
y = C
1
e
−2x
+C
2
e
−x
. 8. y = e
−x
(C
1
cos 2x+C
2
sin 2x). 9. y = (C
1
+C
2
x) cos 2x+
+ (C
3
+ C
4
x) si n 2x.
43
    г) Комплексные корни кратности m. В случае, когда характеристи-
ческое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня α ± iβ кратности
m, соответствующие этим корням частные решения соответствующего одно-
родного дифференциального уравнения имеют вид eαx cos βx, xeαx cos βx, . . . ,
xm−1eαx cos βx и аналогичные решения с синусом: eαx sin βx, xeαx sin βx, . . . ,
xm−1eαx sin βx.
    Пример 4. Решить дифференциальное уравнение y (4) +4y ′′′ +14y ′′ +20y ′ +
+ 25y = 0. Характеристическое уравнение можно представить в виде (k 2 + 2k +
+ 5)2 = 0, следовательно, корнями характеристического уравнения являются
числа −1±2i (кратности 2). Поэтому общим решение дифференциального урав-
нения будет функция y(x) = e−x (C1 cos 2x + C2x cos 2x + C3 sin 2x + C4x sin 2x).
    15.1. Задания к теме. Решить уравнения:

    1. y ′′ − 4y ′ + 3y = 0,   2. y ′′ − 6y ′ + 9y = 0,   3. y ′′ + 4y = 0,

    4. y IV − 16y = 0,     5. y ′′′ − 8y = 0,   6. 4y IV − 3y ′′ − y = 0,



    7. y ′′ + 3y ′ + 2y = 0,   8. y ′′ + 2y ′ + 5y = 0,   9. y IV + 8y ′′ + 16y = 0,

    Ответы: 1. y = C1ex + C2 e3x . 2. y = e3x (C1 + C2x). 3. y = C1 cos 2x +
+ C2 sin 2x. 4. y = C1 e2x + C2 e−2x + C3 cos 2x + C4 sin 2x. 5. y = C1e2x +
             √            √
+ e−x (C2 cos 3x + C3 sin 3x). 6. y = C1ex + C2e−x + C3 cos x2 + C4 sin x2 . 7.
y = C1 e−2x +C2 e−x . 8. y = e−x (C1 cos 2x+C2 sin 2x). 9. y = (C1 +C2 x) cos 2x+
+ (C3 + C4 x) sin 2x.




                                          43

Страницы