Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7. y
′
y(x
2
− 1) =
p
2 −y
2
, y(0) = 0.
8. y
′
(e
2x
− 1)y
2
= −e
2x
, y(0) = 2.
Ответы: 1. y = ±
q
1
2
ln
1−x
1+x
+ 1
2
− 1. 2. y = e
1
x
−1
. 3. y = −
−
p
1 + ln 6 − ln(e
2x
+ 5). 4. y = ±
p
4 − 4
√
x
2
+ 1 + x
2
. 5. y
2
+4y = 2 ln
e
x
+1
2
−
− 2x. 6. y = −
p
2 l n(1 + cos x) − ln 4 + 1. 7.
p
2 − y
2
=
1
2
ln
1+x
1−x
+
√
2. 8.
y =
3
q
8 −
3
2
ln
e
2x
−1
e
2
−1
.
§ 15. Линейные однородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
Линейные дифференц иа льн ы е уравнения с постоянными коэффициентами
имеют вид
y
(n)
+ p
n−1
y
(n−1)
+ . . . + p
1
y
′
+ p
0
y = f(x),
где p
0
, p
1
, . . . , p
n−1
– постоянные коэффициенты.
Однородным линейным уравнением называются уравнения с нулевой пра
вой частью (f(x) = 0).
Для решения такого уравнения записы вается алгебраическое уравнение n-й
степени
k
n
+ p
n−1
k
n−1
+ . . . + p
1
k + p
0
= 0,
называемое характеристическим уравнением.
В соответствии с основн ой теоремой алгебры уравнение n с тепени имеет
ровно n корней, считая все вещественные и комплексн ые корни с учетом их
кратности: k
1
, k
2
, . . . , k
n
. Каждому из корней соответствует свое частное ре
шение y
1
(x), y
2
(x), . . . , y
n
(x). Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид
y(x) = C
1
y
1
(x) + C
2
y
2
(x) + ... + C
n
y
n
(x),
содержаще е n произвольных пос тоянных и позволяющее решать любую задачу
Коши с н ачальными данными y(x
0
) = y
0
, y
′
(x
0
) = y
1
, . . . , y
(n−1)
(x
0
) = y
n−1
.
41
                       p
  7. y ′ y(x2 − 1) =       2 − y 2 , y(0) = 0.
  8. y ′ (e2x − 1)y 2 = −e2x , y(0) = 2.
                                  q                2
                                      1    1−x                          1
     Ответы: 1. y = ±                   ln     + 1    − 1. 2.  y    = e x −1 . 3. y  = −
                                      2    1+x
                                           p
  p                                                √                                 x
− 1 + ln 6 − ln(e2x + 5). 4. y = ± 4 − 4 x2 + 1 + x2. 5. y 2 +4y = 2 ln e 2+1 −
                      p                                   p                         √
− 2x.     6. y =  −      2 ln(1 + cos x)  − ln 4 + 1. 7.    2 −  y 2 = 1 ln 1+x +     2. 8.
     q                                                                  2     1−x
                   2x −1
y = 3 8 − 32 ln ee2 −1   .


§ 15.     Линейные однородные дифференциальные
           уравнения с постоянными коэффициентами

     Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
имеют вид

     y (n) + pn−1y (n−1) + . . . + p1y ′ + p0y = f (x),

где p0, p1, . . . , pn−1 – постоянные коэффициенты.
     Однородным линейным уравнением называются уравнения с нулевой пра-
вой частью (f (x) = 0).
     Для решения такого уравнения записывается алгебраическое уравнение n-й
степени

     k n + pn−1k n−1 + . . . + p1k + p0 = 0,

называемое характеристическим уравнением.
     В соответствии с основной теоремой алгебры уравнение n степени имеет
ровно n корней, считая все вещественные и комплексные корни с учетом их
кратности: k1 , k2, . . . , kn . Каждому из корней соответствует свое частное ре-
шение y1(x), y2 (x), . . . , yn (x). Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид

     y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn (x),

содержащее n произвольных постоянных и позволяющее решать любую задачу
Коши с начальными данными y(x0) = y0 , y ′ (x0) = y1, . . . , y (n−1) (x0) = yn−1 .

                                                 41

Страницы