Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

постоянного слагаемого. Решения более сложных дифференциальных уравне
ний также находятся с точностью до произ вольных постоянных (их число равно
порядку уравнения).
Так же, как не любая функция может быть проинтег р ирована, и пред ставле
на в виде элементарных функций, так и не любое дифференциальное уравнение
имеет решение, выражающееся через элементарные функции. Мы рассмотрим
лишь несколько простых классов дифференциальных уравнений, для котор ых
можно найти аналитическое решение.
14.1. Дифференциальное уравнение первого порядка с разде-
ляющимися переменными. Такое уравнение имеет вид y
′
= f(x)g(y). За 
пишем производную в виде отношения дифференциалов:
dy
dx
= f(x) · g(y) и
разнесе м в разные части выражения, содержащие x и y. Мы получим равен
ство двух дифференциалов:
dy
g(y)
= f(x)dx. После интегрирования правой части
по x, а левой – по y мы получим слева функцию, зависящую от y, а справа –
функцию, зависящую от x, отличающихся на константу:
R
dy
g(y)
=
R
f(x)dx + C.
Зависимость между x и y, полученная при решении дифференциального
уравнения, зада ет в плоскости xOy семейство кривых из-за присутствия про
извольного пара метр а C. Для того, чтобы выбрать из этого множества един
ственную кривую, задают начальное условие y(x
0
) = y
0
. Таким образом, из
множества кривых в ыбирается единственна я – п роходящая через точку (x
0
, y
0
).
Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющее
начальному условию, называется задачей Коши.
Пример 1. Найти решение уравнения y
′
y
q
1−x
2
1−y
2
= 1, удовлетворяюще е
условию y(0) = 0.
Представим производную в уравнении в виде отношения дифференциалов
и разделим п еременные:
dy
dx
· y ·
s
1 − x
2
1 − y
2
= 1
ydy
p
1 − y
2
=
dx
√
1 − x
2
.
39
постоянного слагаемого. Решения более сложных дифференциальных уравне-
ний также находятся с точностью до произвольных постоянных (их число равно
порядку уравнения).
    Так же, как не любая функция может быть проинтегрирована, и представле-
на в виде элементарных функций, так и не любое дифференциальное уравнение
имеет решение, выражающееся через элементарные функции. Мы рассмотрим
лишь несколько простых классов дифференциальных уравнений, для которых
можно найти аналитическое решение.
    14.1. Дифференциальное уравнение первого порядка с разде-
ляющимися переменными. Такое уравнение имеет вид y ′ = f (x)g(y). За-
                                                                   dy
пишем производную в виде отношения дифференциалов:                 dx   = f (x) · g(y) и
разнесем в разные части выражения, содержащие x и y. Мы получим равен-
                             dy
ство двух дифференциалов:   g(y)   = f (x)dx. После интегрирования правой части
по x, а левой – по y мы получим слева функцию, зависящую от y, а справа –
                                                    R dy   R
функцию, зависящую от x, отличающихся на константу: g(y) = f (x)dx + C.
    Зависимость между x и y, полученная при решении дифференциального
уравнения, задает в плоскости xOy семейство кривых из-за присутствия про-
извольного параметра C. Для того, чтобы выбрать из этого множества един-
ственную кривую, задают начальное условие y(x0) = y0 . Таким образом, из
множества кривых выбирается единственная – проходящая через точку (x0, y0).
Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющее
начальному условию, называется задачей Коши.
                                                    q
                                                ′       1−x2
    Пример 1. Найти решение уравнения y y               1−y 2   = 1, удовлетворяющее
условию y(0) = 0.
    Представим производную в уравнении в виде отношения дифференциалов
и разделим переменные:
            s
     dy       1 − x2
        ·y·          =1
    dx        1 − y2

        ydy       dx
    p          =√       .
        1 − y2   1 − x2
                                        39

Страницы