Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Тогда
S =
b
Z
a
[f
2
(x) − f
1
(x)]dx.
Пример 4. Вычислить площадь области, огран ичен ной кривыми y = x
2
и
y = 2 − x
2
.
Прежде всего найдем точки пересечения кривых: x
2
= 2 − x
2
⇒ x
2
=
= 1 ⇒ x = ±1. Таким образом, пределами интегрирования будут числа
a = −1, b = 1.
Вычислим теперь площадь по формуле. Кривая y = 2 − x
2
над отрезком
[−1, 1] находится выше кривой y = x
2
. Следовательно,
S =
1
Z
−1
[(2 − x
2
) − x
2
]dx =
2x −
2
3
x
3
1
−1
=
8
3
.
13.5. Задания к теме. Вычислить площадь области, расположенной
между дв умя кривыми:
1. y = 9 − x
2
и y = 0.
2. y =
√
16 − x
2
и y = 0.
3. y = (x − 2)
3
и y = 4x − 8.
4. y = 4 − x
2
и y = x
2
− 2x.
Ответы: 1. 36. 2. 256/3. 3. 8. 4. 9.
§ 14. Дифференциальные уравнения с
разделяющимися переменными
Дифференциальным уравнением n- го порядка называется соотношение ви
да F (x, y, y
′
, y
′′
, ..., y
(n)
) = 0. Решить дифференциальное уравнение – это значит,
определить функцию y(x), удовлетворяющее этому соотношению.
Простейшее дифференциальн о е уравнение в ида y
′
(x) = f (x) имеет реше
ние y(x) =
R
f(x)dx. Это решение определяется с точностью до произвольного
38
      Тогда
           Zb
      S=        [f2(x) − f1(x)]dx.
           a

      Пример 4. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми y = x2 и
y = 2 − x2 .
      Прежде всего найдем точки пересечения кривых: x2 = 2 − x2             ⇒     x2 =
= 1     ⇒        x = ±1. Таким образом, пределами интегрирования будут числа
a = −1, b = 1.
      Вычислим теперь площадь по формуле. Кривая y = 2 − x2 над отрезком
[−1, 1] находится выше кривой y = x2. Следовательно,

           Z1                                         1
                       2     2                2               8
      S=        [(2 − x ) − x ]dx =       2x − x3            = .
                                              3         −1    3
           −1

      13.5. Задания к теме. Вычислить площадь области, расположенной
между двумя кривыми:
      1. y = 9 − x2 и y = 0.
             √
      2. y = 16 − x2 и y = 0.
      3. y = (x − 2)3 и y = 4x − 8.
      4. y = 4 − x2 и y = x2 − 2x.
      Ответы: 1. 36. 2. 256/3. 3. 8. 4. 9.


§ 14.      Дифференциальные уравнения с
            разделяющимися переменными

      Дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение ви-
да F (x, y, y ′, y ′′ , ..., y (n)) = 0. Решить дифференциальное уравнение – это значит,
определить функцию y(x), удовлетворяющее этому соотношению.
    Простейшее дифференциальное уравнение вида y ′ (x) = f (x) имеет реше-
          R
ние y(x) = f (x)dx. Это решение определяется с точностью до произвольного

                                             38

Страницы