Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, для вычисления определенного интеграла ис пользуется неопре-
деленный интеграл.
Пример 1. Вычислить
R
1
0
x
5
dx. Мы знаем, что первообра зной для функ-
ции x
5
является функция
x
6
6
. Поэтому
1
Z
0
x
5
dx =
x
6
6
1
0
=
1
6
−
0
6
=
1
6
.
Вычисление первообразной, как мы уже убедились, часто бывает довольно дол-
гим процессом, где могут использоваться (и не один раз) методы замены пере-
менной и интегрирования по частям. Рассмотрим эти методы в процессе вычис-
ления определенного интеграла.
13.2. Метод замены переменной в определенном интеграле.
Если сделать замену t = ϕ(x) в определенном интеграле
R
b
a
f(x)dx, то необ-
ходимо изменить пре д елы интегрирования в новом интеграле, где переменной
интегрирования становится новая переменная t. Нужно в качестве нового нижне-
го предела интегрирования надо взять значение α = ϕ (a), а в качестве верхнего
предела – β = ϕ(b).
Пример 2. Вычислить
R
π/3
π/4
(cos
5
x+3 sin
2
x cos x)dx. Вынесем cos x за скоб-
ку и выразим оставшуюся в скобках функцию cos
4
x через sin x: cos
4
x = (1 −
− sin
2
x)
2
. Получим:
π/3
Z
π/4
(1 − sin
2
x)
2
+ 3 sin
2
x
cos xdx.
Нетрудно видеть , что удобно сделать замену: t = sin x. При этом dt = cos xdx и
выражение под интегралом становится зависимым только от t. Теперь необходи-
мо изменить пределы интегрирования. Нижним пределом стано вится sin(π/4) =
=
√
2/2, а верхним п р еделом sin(π/3) =
√
3/2. Поэтому
π/3
Z
π/4
(cos
5
x + 3 sin
2
x cos x) dx =
√
3/2
Z
√
2/2
[(1 − t
2
)
2
+ 3t
2
]dt =
36
Таким образом, для вычисления определенного интеграла используется неопре-
деленный интеграл.
                                      R1
    Пример 1. Вычислить                0    x5dx. Мы знаем, что первообразной для функ-
                               x6
ции x5 является функция        6
                                  .   Поэтому

    Z1                1
           5    x6            1 0 1
         x dx =           =    − = .
                6     0       6 6 6
    0

Вычисление первообразной, как мы уже убедились, часто бывает довольно дол-
гим процессом, где могут использоваться (и не один раз) методы замены пере-
менной и интегрирования по частям. Рассмотрим эти методы в процессе вычис-
ления определенного интеграла.
    13.2. Метод замены переменной в определенном интеграле.
                                                     Rb
Если сделать замену t = ϕ(x) в определенном интеграле a f (x)dx, то необ-
ходимо изменить пределы интегрирования в новом интеграле, где переменной
интегрирования становится новая переменная t. Нужно в качестве нового нижне-
го предела интегрирования надо взять значение α = ϕ(a), а в качестве верхнего
предела – β = ϕ(b).
                                 R π/3
    Пример 2. Вычислить               π/4   (cos5 x+3 sin2 x cos x)dx. Вынесем cos x за скоб-
ку и выразим оставшуюся в скобках функцию cos4 x через sin x: cos4 x = (1 −
− sin2 x)2. Получим:

    Zπ/3
                                  
           (1 − sin2 x)2 + 3 sin2 x cos xdx.
   π/4

Нетрудно видеть, что удобно сделать замену: t = sin x. При этом dt = cos xdx и
выражение под интегралом становится зависимым только от t. Теперь необходи-
мо изменить пределы интегрирования. Нижним пределом становится sin(π/4) =
  √                                   √
= 2/2, а верхним пределом sin(π/3) = 3/2. Поэтому
                                               √
    Zπ/3                             Z3/2
       (cos5 x + 3 sin2 x cos x)dx =    [(1 − t2 )2 + 3t2 ]dt =
                                              √
   π/4                                         2/2

                                                   36

Страницы