Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= x(ln x)
2
− 2
Z
x ln x
1
x
dx = x(ln x)
2
− 2
Z
ln xdx =
=
(
u = ln x, u
′
=
1
x
v
′
= 1, v = x
)
= x · (ln x)
2
− 2
x ln x −
Z
x
1
x
dx
=
= x · (ln x)
2
− 2x ln x + 2x + C.
12.1. Задания к теме.
Вычислить интегралы:
1.
Z
x ln(x − 1)dx, 2.
Z
x arctg xdx, 3.
Z
arctg
√
4x − 1dx,
4.
Z
(x − 2) cos 2xdx, 5.
Z
(4 − 3x)e
−3x
dx, 6.
Z
arcsin x
√
1 − x
dx,
7.
Z
(2 + 3x)e
2x
dx, 8.
Z
(x + 3) si n xdx, 9.
Z
x
2
ln xdx,
10.
Z
arcsin xdx.
Ответы: 1.
(x
2
−1) ln(x−1)
2
−
x
2
+2x
4
+C. 2.
(x
2
+1) arctg x
2
−
x
2
. 3. x arctg
√
4x − 1−
−
√
4x−1
4
+ C. 4.
(2x−4) sin 2x+cos 2x
4
+ C. 5. (x − 1)e
−3x
+ C. 6. 4
√
1 + x −
−2
√
1 − x arcsin x+C. 7.
(6x+1)e
2x
4
+C. 8. sin x−(x+3) cos x+C. 9.
x
3
(3 ln x−1)
9
+C.
10. x arcsin x +
√
1 − x
2
+ C.
§ 13. Определенный интеграл. Вычисление площадей
Определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b] называется
выражение вида
R
b
a
f(x)dx. З д есь над и под знаком интеграла появляются концы
отрезка, по которому интегрируют, называемые пределами интегрирования.
13.1. Вычисление определенного интеграла. Для того, чтобы вы-
числить такой опреде ленный интеграл, следует использовать любую первообраз-
ную F (x) функции f(x) в формуле Ньютона – Лейбница:
b
Z
a
f(x)dx = F (x)
b
a
= F ( b) − F (a).
35
                         Z                     Z
                   2        1             2
     = x(ln x) − 2 x ln x dx = x(ln x) − 2 ln xdx =
                            x
       (                    )                          Z    
          u = ln x, u′ = x1                               1
     =                        = x · (ln x)2 − 2 x ln x − x dx =
           ′
          v = 1,    v=x                                   x
     = x · (ln x)2 − 2x ln x + 2x + C.
     12.1. Задания к теме.
     Вычислить интегралы:
        Z                   Z                                        Z
                                                                              √
     1.   x ln(x − 1)dx, 2.   x arctg xdx,                      3.       arctg 4x − 1dx,
          Z                                     Z                              Z
                                                            −3x                    arcsin x
     4.       (x − 2) cos 2xdx,            5.       (4 − 3x)e     dx,     6.       √        dx,
                                                                                     1−x

          Z                                 Z                             Z
     7.       (2 + 3x)e2xdx,          8.        (x + 3) sin xdx,     9.        x2 ln xdx,
              Z
     10.          arcsin xdx.
                 (x2 −1) ln(x−1)   x2 +2x         (x2 +1) arctg x   x
                                                                                     √
     Ответы: 1.         2        −    4   +C. 2.        2         − 2 . 3. x arctg      4x − 1−
  √                                                                                  √
− 4x−1
     4
         + C. 4. (2x−4) sin42x+cos 2x + C. 5. (x − 1)e−3x + C. 6. 4 1 + x −
  √                                 2x
                                                                                x3 (3 ln x−1)
−2 1 − x arcsin x+C. 7. (6x+1)e  4     +C. 8. sin x−(x+3)        cos x+C.    9.        9      +C.
                √
10. x arcsin x + 1 − x2 + C.


§ 13.         Определенный интеграл. Вычисление площадей

    Определенным интегралом от функции f (x) по отрезку [a, b] называется
              Rb
выражение вида a f (x)dx. Здесь над и под знаком интеграла появляются концы
отрезка, по которому интегрируют, называемые пределами интегрирования.
     13.1. Вычисление определенного интеграла. Для того, чтобы вы-
числить такой определенный интеграл, следует использовать любую первообраз-
ную F (x) функции f (x) в формуле Ньютона – Лейбница:
     Zb                         b
          f (x)dx = F (x)           = F (b) − F (a).
                                a
     a

                                                       35

Страницы