Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

9.
Z
(x
2
+ 1)
3
x
4
dx, 10.
Z
4x − 1
3
√
x
2
dx, 11.
Z
cos 2x
cos
2
x sin
2
x
dx,
12.
Z
√
4x + 2dx, 13.
Z
sin(ax + b)dx, 14.
Z
cos x
sin
4
x
dx,
15.
Z
e
2x
dx
1 − 3e
2x
, 16.
Z
x
p
x
2
+ 1dx.
Ответы: 1. 10 ln x−
1
x
3
+C. 2.
2
3
x
3/2
−3x+6
√
x−ln x+C. 3.
sin 2x
4
+
x
2
+C.
4.
(2x+3)
101
202
+C. 5.
tg 5x
5
+C. 6. ln sin x+C. 7. ln(1+ln x)+C. 8.
(1+x
3
)
2/3
2
+C. 9.
x
3
3
+3x−
3
x
+
1
3x
3
+C. 10. 3
3
√
x(x−1)+C. 11. −tg x−ctg x+C. 12.
(4x+2)
3/2
6
+C.
13. −
cos(ax+b)
a
+ C. 14. −
1
3 sin
3
x
+ C. 15. −
ln(1−3e
2x
)
6
+ C. 16.
(x
2
+1)
3/2
3
+ C.
§ 12. Интегрирование по частям.
Этот метод основан на формуле
Z
uv
′
dx = uv −
Z
vu
′
dx или, сокращенно,
Z
udv = uv −
Z
vdu.
По частям берутся интегралы следующих видов:
1.
Z
P
n
(x)
|{z}
u
sin x
cos x
e
x
| {z }
v
′
dx, 2.
Z
P
n
(x)
|{z}
v
′
ln x
arctg x
arcsin x
| {z }
u
dx,
где P
n
(x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
. . . + a
1
x + a
0
– многочлен.
Пример 1. Найти
R
xe
x
dx. Обозначим u = x, v
′
= e
x
. Тогда u
′
= 1 и
v =
R
e
x
dx = e
x
. Применив формулу интегрирования по частям, получим
Z
xe
x
dx = xe
x
−
Z
e
x
dx = e
x
(x − 1) + C.
Пример 2. Найти
R
(ln x)
2
dx. В э том примере применим ме тод интегриро-
вания по частям дважды:
Z
(ln x)
2
dx =
(
u = (ln x)
2
, u
′
= 2 ln x ·
1
x
,
v
′
= 1, v = x
)
=
34
          Z                              Z                      Z
                  (x2 + 1)3                  4x − 1                   cos 2x
     9.                     dx,    10.        √     dx,   11.                    dx,
                      x4                      3
                                                x2                 cos2 x sin2 x
              Z                          Z                           Z
                   √                                                    cos x
     12.            4x + 2dx,       13.  sin(ax + b)dx,         14.            dx,
                                                                        sin4 x
              Z                       Z p
           e2x dx
     15.            ,             16.   x x2 + 1dx.
          1 − 3e2x
                                                 √
     Ответы: 1. 10 ln x− x13 +C. 2. 23 x3/2 −3x+6 x−ln x+C. 3.                     sin 2x   x
                                                                                      4 + 2 +C.
          101
                                                                                (1+x3 )2/3
4. (2x+3)
      202
              + C.  5. tg 5x
                         5
                             + C.  6. ln sin x + C. 7. ln(1  +   ln x) + C. 8.       2
                                                                                           + C. 9.
x3          3    1               √                                                  (4x+2)3/2
3  +3x−     x + 3x3 +C.   10.  3 3
                                   x(x−1)+C.      11. −  tg x−ctg      x+C.  12.         6    +C.
                                                            2x                2    3/2
13. − cos(ax+b)
            a     + C. 14. − 3 sin1 3 x + C. 15. − ln(1−3e
                                                         6
                                                               )
                                                                  + C. 16. (x +1)3      + C.


§ 12.         Интегрирование по частям.

     Этот метод основан на формуле
     Z              Z                                           Z                  Z
       uv dx = uv − vu′ dx или, сокращенно,
         ′
                                                                    udv = uv −         vdu.

     По частям берутся интегралы следующих видов:
                                                                     
                                                                     
       Z         sin x 
                                 Z         ln x
                                                                       
                                                                        
     1. Pn (x) cos x dx,         2. Pn (x)    arctg x                        dx,
         | {z } 
                       
                                    | {z } 
                                                                       
                                                                        
            u    ex                  v′    arcsin x                  
                | {z }                      |    {z                      }
                           v′                                       u

где Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 . . . + a1 x + a0 – многочлен.
                          R
    Пример 1. Найти xex dx. Обозначим u = x, v ′ = ex . Тогда u′ = 1 и
    R
v = ex dx = ex . Применив формулу интегрирования по частям, получим
    Z                  Z
        xe dx = xe − ex dx = ex (x − 1) + C.
          x         x

                    R
     Пример 2. Найти (ln x)2dx. В этом примере применим метод интегриро-
вания по частям дважды:
    Z             (                               )
                              2   ′           1
                    u = (ln x) , u = 2 ln x · x ,
      (ln x)2dx =                                   =
                    v ′ = 1,     v=x

                                                  34

Страницы