Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Приведенный список не исчерпывает все функции, которые можно проинте-
грировать. Существуют приемы, поз воляющие проинтегрировать более сложные
функции.
11.2. Интегрирование методом разложения. Некоторые интегралы
можно представить в виде линейной комбинации табличных интегралов, поль-
зуясь свойством линейности интеграла:
Z
Af(x) + Bg(x)
dx = A
Z
f(x)dx + B
Z
g(x)dx.
Пример 1. Вычислить
R
x
2
−2
x
3
dx. Представим подынтегральную дробь в
виде разности двух дробей и интеграл от разности заменим на разность инте-
гралов:
Z
x
2
− 2
x
3
dx =
Z
x
2
x
3
−
2
x
3
dx =
Z
x
−1
dx − 2
Z
x
−3
dx =
= ln x − 2
x
−2
−2
+ C = ln x +
1
x
2
+ C.
Пример 2. Вычислить
R
dx
sin
2
x cos
2
x
. Воспользуемся тождеством 1 =
= cos
2
x + sin
2
x. Тогда получим:
Z
dx
sin
2
x cos
2
x
=
Z
cos
2
x + sin
2
x
sin
2
x cos
2
x
dx =
Z
dx
sin
2
x
+
Z
dx
cos
2
x
=
= −ctg x + tg x + C.
Пример 3. Вычислить
R
x
4
x
2
+1
dx. Мы не изменим подынтегральную функ-
цию, если в ычтем и прибавим в числителе единицу и разнос ть x
4
−1 пр едставим
в виде (x
2
− 1)(x
2
+ 1) :
Z
x
4
x
2
+ 1
dx =
Z
x
4
− 1 + 1
x
2
+ 1
dx =
Z
(x
2
− 1)(x
2
+ 1) + 1
x
2
+ 1
dx =
=
Z
x
2
− 1 +
1
x
2
+ 1
dx =
Z
x
2
dx −
Z
dx +
Z
dx
x
2
+ 1
=
=
x
3
3
− x + arctg x + C.
32
    Приведенный список не исчерпывает все функции, которые можно проинте-
грировать. Существуют приемы, позволяющие проинтегрировать более сложные
функции.
    11.2. Интегрирование методом разложения. Некоторые интегралы
можно представить в виде линейной комбинации табличных интегралов, поль-
зуясь свойством линейности интеграла:
    Z                         Z          Z
                     
        Af (x) + Bg(x) dx = A f (x)dx + B g(x)dx.

                                  R    x2 −2
    Пример 1. Вычислить                 x3 dx.     Представим подынтегральную дробь в
виде разности двух дробей и интеграл от разности заменим на разность инте-
гралов:
    Z                   Z                        Z               Z
          x2 − 2              x2   2
                 dx =            −         dx =        x−1dx − 2       x−3dx =
            x3                x3 x3

               x−2               1
    = ln x − 2     + C = ln x + 2 + C.
               −2                x
                               R       dx
    Пример 2. Вычислить           sin2 x cos2 x
                                                . Воспользуемся тождеством 1 =
= cos2 x + sin2 x. Тогда получим:
    Z                  Z                       Z         Z
            dx            cos2 x + sin2 x          dx       dx
          2          =        2           dx =      2  +          =
       sin x cos2 x        sin x cos2 x          sin x     cos2 x
    = − ctg x + tg x + C.
                                 R     x4
    Пример 3. Вычислить               x2 +1
                                            dx.   Мы не изменим подынтегральную функ-
цию, если вычтем и прибавим в числителе единицу и разность x4 −1 представим
в виде (x2 − 1)(x2 + 1):
    Z              Z 4                Z
         x4           x −1+1            (x2 − 1)(x2 + 1) + 1
              dx =               dx =                        dx =
       x2 + 1            x2 + 1                x2 + 1
       Z                         Z        Z       Z
                       1                                 dx
    =      x2 − 1 + 2         dx = x2dx − dx +          2
                                                              =
                    x +1                               x +1
      x3
    =    − x + arctg x + C.
      3

                                                  32

Страницы