Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

11.3. Интегрирование методом замены переменной. Пусть x =
= ϕ(t). Тогда дифференциал dx = ϕ
′
(t)dt и справе д лива формула
Z
f(x)dx =
Z
f[ϕ(t)] · ϕ
′
(t)dt.
Пример 4. Вычислить
R
√
4x − 1dx. Сделае м замену t = 4x − 1. Тогда
dt = (4x − 1)
′
dx = 4dx и dx =
1
4
dt. Следовательно ,
Z
√
4x − 1dx =
Z
√
t ·
1
4
dt =
1
4
Z
t
1
2
dt =
1
4
t
3
2
3
2
+ C =
(4x − 1)
3
2
6
+ C.
Пример 5. Вычислить
R
dx
x
2
+2x+2
. В знаменателе выд елим п олный квадрат:
x
2
+2x+2 = (x+1)
2
+1 и сделаем замену t = x+1. При такой замене dt = dx.
Теперь
Z
dx
x
2
+ 2x + 2
=
Z
dt
t
2
+ 1
= arctg t + C = arctg(x + 1) + C.
Пример 6. Найти
R
e
−x
2
xdx. Сделаем замену t = −x
2
. Тогда dt = (−
−x
2
)
′
dx = −2xdx и dx = dt/ (−2x):
Z
e
−x
2
xdx =
Z
e
t
x
dt
−2x
= −
1
2
Z
e
t
dt = −
1
2
e
t
+ C = −
1
2
e
−x
2
+ C.
Пример 7. Найти
R
tg xdx. Сделаем замену t = cos x, тогда dt =
= (cos x)
′
dx = −sin xdx и sin xdx = −dt:
Z
tg xdx =
Z
sin x
cos x
dx = −
Z
dt
t
= −ln |t| + C = −ln |cos x| + C.
11.4. Задания к теме. Вычислить интегралы:
1.
Z
10x
3
+ 3
x
4
dx, 2.
Z
(
√
x − 1)
3
x
dx, 3.
Z
cos
2
xdx,
4.
Z
(2x + 3)
100
dx, 5.
Z
dx
cos
2
5x
, 6.
Z
ctg xdx,
7.
Z
dx
x(1 + ln x)
, 8.
Z
x
2
dx
3
√
1 + x
3
,
33
    11.3. Интегрирование методом замены переменной. Пусть x =
= ϕ(t). Тогда дифференциал dx = ϕ′ (t)dt и справедлива формула
    Z           Z
       f (x)dx = f [ϕ(t)] · ϕ′(t)dt.
                                          R√
    Пример 4. Вычислить                           4x − 1dx. Сделаем замену t = 4x − 1. Тогда
dt = (4x − 1)′dx = 4dx и dx = 14 dt. Следовательно,
    Z                     Z     Z            3               3
        √              1      1√    1     1 t2      (4x − 1) 2
         4x − 1dx = t · dt =      t 2 dt = 3 + C =             + C.
                       4      4           4 2           6
                         R   dx
    Пример 5. Вычислить x2 +2x+2  . В знаменателе выделим полный квадрат:
x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 и сделаем замену t = x + 1. При такой замене dt = dx.
Теперь
    Z                          Z
             dx      dt
                     =    = arctg t + C = arctg(x + 1) + C.
         x2 + 2x + 2
                   t2 + 1
                   R    2
    Пример 6. Найти e−x xdx. Сделаем замену t = −x2. Тогда dt = (−
−x2 )′dx = −2xdx и dx = dt/(−2x):
    Z           Z                 Z
          2              dt       1            1          1 2
       e−x xdx = et x         =−      et dt = − et + C = − e−x + C.
                        −2x       2            2          2
                         R
    Пример 7. Найти tg xdx. Сделаем замену t = cos x, тогда dt =
= (cos x)′dx = − sin xdx и sin xdx = −dt:
    Z           Z                Z
                    sin x          dt
       tg xdx =           dx = −      = − ln |t| + C = − ln | cos x| + C.
                   cos x            t
    11.4. Задания к теме. Вычислить интегралы:

         Z                               Z        √                     Z
             10x3 + 3                            ( x − 1)3
    1.                dx,           2.                     dx,     3.       cos2 xdx,
                x4                                  x
         Z                                   Z                     Z
                        100                         dx
    4.       (2x + 3)         dx,    5.                   ,   6.       ctg xdx,
                                                  cos2 5x
         Z                               Z
                 dx                            x2dx
    7.                   ,          8.       √        ,
             x(1 + ln x)                     3
                                               1 + x3
                                                        33

Страницы