Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности "социология". Абзалилов Д.Ф - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Действительно, такая задача сведется к поиску конкретных значений постоянных
C
1
, C
2
, . . . , C
n
.
Рассмотрим различные случаи корней характеристического уравнения и ви-
ды соответствующих им частных решений.
а) Простой вещественный корень. Простому вещественному корню
k
1
характеристического уравнения соответствует частное реше ние y
1
(x) = e
k
1
x
.
Пример 1. Решить однородное дифференциальное урав н ение y
′′′
− 5y
′′
+
+6y
′
= 0. Запишем характеристическое уравнение k
3
−5k
2
+6k = 0. Это урав н е-
ние имеет три простых корня: k
1
= 0, k
2
= 2, k
3
= 3. Частными решениями для
этих корней будут функции y
1
(x) = e
0x
= 1, y
2
(x) = e
2x
, y
3
(x) = e
3x
. Общим
решением исходного дифференциального уравнение будет функция y(x) = C
1
+
+ C
2
e
2x
+ C
3
e
3x
.
б) Вещественный корень кратности m. Если корень k
1
характери-
стического уравне ния имеет кратность m, то, соответс твующие ему m частных
решений имеют вид y
1
(x) = e
k
1
x
, y
2
(x) = xe
k
1
x
, . . . , y
m
(x) = x
m−1
e
k
1
x
.
Пример 2. Решить однородное дифференциальное уравнение y
(6)
−2y
(5)
+
+ y
(4)
= 0. Характеристическое уравнение имеет вид k
6
− 2k
5
+ k
4
= 0 или
k
4
(k −1)
2
= 0, и следовательно, имеет корни k
1
= 0 (кратности четыре) и k
2
=
= 1 (кратности два). Поэтому общим решением исходного дифференциального
уравнения будет являться функция y(x) = C
1
+C
2
x+C
3
x
2
+C
4
x
3
+C
5
e
x
+C
6
xe
x
.
в) Простой комплексный корень. При решении алгебраического урав-
нения с в ещественными коэффициентами наличие комплексного корня k
1
= α+
+ iβ обеспечивает на личие комплексно сопряженного ко р ня k
2
= α − iβ. Этой
паре комплексных корней соответствуют частные решения y
1
(x) = e
αx
cos βx и
y
2
(x) = e
αx
sin βx.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение y
(4)
+ 4y
′′
= 0. Характе-
ристическим уравнением является уравнение k
4
+ 4k
2
= 0 или k
2
(k
2
+ 4) = 0.
Корнями этого уравнения являются k
1
= 0 (кратности 2) и комплексные корни
k
2
= 2i, k
3
= −2i. Поэтому общее решение имеет вид y(x) = C
1
+ C
2
x +
+ C
3
cos 2x + C
4
sin 2x.
42
Действительно, такая задача сведется к поиску конкретных значений постоянных
C1 , C2 , . . . , Cn .
      Рассмотрим различные случаи корней характеристического уравнения и ви-
ды соответствующих им частных решений.
      а) Простой вещественный корень. Простому вещественному корню
k1 характеристического уравнения соответствует частное решение y1 (x) = ek1 x .
      Пример 1. Решить однородное дифференциальное уравнение y ′′′ − 5y ′′ +
+6y ′ = 0. Запишем характеристическое уравнение k 3 −5k 2 +6k = 0. Это уравне-
ние имеет три простых корня: k1 = 0, k2 = 2, k3 = 3. Частными решениями для
этих корней будут функции y1 (x) = e0x = 1, y2 (x) = e2x , y3 (x) = e3x . Общим
решением исходного дифференциального уравнение будет функция y(x) = C1 +
+ C2e2x + C3e3x .
      б) Вещественный корень кратности m. Если корень k1 характери-
стического уравнения имеет кратность m, то, соответствующие ему m частных
решений имеют вид y1 (x) = ek1 x , y2 (x) = xek1 x , . . . , ym (x) = xm−1ek1 x .
      Пример 2. Решить однородное дифференциальное уравнение y (6) −2y (5) +
+ y (4) = 0. Характеристическое уравнение имеет вид k 6 − 2k 5 + k 4 = 0 или
k 4 (k − 1)2 = 0, и следовательно, имеет корни k1 = 0 (кратности четыре) и k2 =
= 1 (кратности два). Поэтому общим решением исходного дифференциального
уравнения будет являться функция y(x) = C1 +C2x+C3 x2 +C4 x3 +C5ex +C6 xex .
      в) Простой комплексный корень. При решении алгебраического урав-
нения с вещественными коэффициентами наличие комплексного корня k1 = α+
+ iβ обеспечивает наличие комплексно сопряженного корня k2 = α − iβ. Этой
паре комплексных корней соответствуют частные решения y1 (x) = eαx cos βx и
y2 (x) = eαx sin βx.
      Пример 3. Решить дифференциальное уравнение y (4) + 4y ′′ = 0. Характе-
ристическим уравнением является уравнение k 4 + 4k 2 = 0 или k 2 (k 2 + 4) = 0.
Корнями этого уравнения являются k1 = 0 (кратности 2) и комплексные корни
k2 = 2i, k3 = −2i. Поэтому общее решение имеет вид y(x) = C1 + C2 x +
+ C3 cos 2x + C4 sin 2x.

                                           42

Страницы