Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве
– 5 –
§1. Жорданова форма матрицы
оператора в комплексном пространстве
1. Операторы , имеющие единственное собственное значение l=0
Лемма 1. Если A – линейный оператор в комплексном пространстве,
A
k
x ¹ 0, а A
k+1
x = 0, то система векторов
A
k
x, A
k-1
x , … , Ax, x (1)
• линейно независима,
• ее линейная оболочка – инвариантное относительно оператора A
подпространство,
• сужение оператора на это подпространство имеет в базисе (1)
матрицу
0000
1000
0100
0010
K
K
KKKKK
K
K
, (2)
в которой элементы , расположенные непосредственно над диагональю ,
равны 1, а все другие равны 0.
Доказательство. Покажем , что в соотношении
l
k
A
k
x + l
k
-1
A
k-1
x +… +l
1
Ax +l
0
x =0 (3)
все коэффициенты нулевые.
Вычисляя значение оператора A
k
от обеих частей этого равенства ,
получим , что
l
0
A
k
x =0, откуда следует, что l
0
= 0. Учитывая это и применяя
оператор A
k-1
к равенству (3), аналогично получим , что l
1
= 0, и так далее.
Таким образом доказана тривиальность линейной комбинации в (3), а с этим
и линейная независимость системы (1).
Инвариантность линейной оболочки этой системы относительно оператора A
следует из того, что под действием оператора первый вектор системы
переходит в нулевой , а каждый следующий – в предыдущий .
Из этого последнего обстоятельства непосредственным образом следует
справедливость и последнего утверждения леммы . "
Теорема 1. Если A –линейный оператор, действующий в конечномерном
комплексном пространстве и l = 0 – его единственное собственное значение,
то 
§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве




                       §1. Жорданова форма матрицы
                   оператора в комплексном пространстве


     1. Операторы, имеющие единственное собственное значение l=0
      Лемма 1. Если A– линейный оператор в комплексном пространстве,
 k         k+1
A x¹ 0, а A x = 0, то система векторов
                         Ak x, Ak-1x , …, Ax, x                         (1)
       • линейно независима,
       • ее линейная оболочка – инвариантное относительно оператора A
         подпространство,
       • сужение оператора на это подпространство имеет в базисе (1)
         матрицу
                                  � 0      1   0      0�
                                   � 0     0   1      0�
                                    �              � ,           (2)
                                    � 0    0   0      1�
                                     � 0              0 ��
                                      �    0   0

в которой элементы, расположенные непосредственно над диагональю,
равны 1, а все другие равны 0.
   Доказательство. Покажем, что в соотношении
                lk Akx + lk -1Ak-1 x +… +l1 Ax +l0 x =0               (3)
все коэффициенты нулевые.
   Вычисляя значение оператора A k от обеих частей этого равенства,
получим, что l0 Akx =0, откуда следует, что l0 = 0. Учитывая это и применяя
оператор Ak-1 к равенству (3), аналогично получим, что l1 = 0, и так далее.
Таким образом доказана тривиальность линейной комбинации в (3), а с этим
и линейная независимость системы (1).
Инвариантность линейной оболочки этой системы относительно оператора A
следует из того, что под действием оператора первый вектор системы
переходит в нулевой, а каждый следующий – в предыдущий.
   Из этого последнего обстоятельства непосредственным образом следует
справедливость и последнего утверждения леммы. ‚
   Теорема 1. Если A –линейный оператор, действующий в конечномерном
комплексном пространстве и l= 0 – его единственное собственное значение,
то


                                       – 5–

Страницы