Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве
–6–
• существует базис, в котором матрица этого оператора является
квазидиагональной ,
• в ней по диагонали стоят матрицы вида (2), не возрастающие по
размеру,
• число таких матриц на диагонале равно геометрической кратности
этого собственного собственного значения .
Доказательство. Пусть E – пространство, в котором действует оператор A
и dimE=n. Тогда l = 0 – единственный корень характеристического
многочлена p(l) этого оператора . Поэтому p(l) = ±l
n
и в силу теоремы
Гамильтона – Кэли имеем , что A
n
.
= 0
.
Среди всех следующих степеней
оператора
A
0
= I, A, A
2
, … , A
n-1
, A
n
= 0
найдем последний ненулевой оператор. Пусть это будет A
k
, тогда
A
k
¹ 0, а A
k+1
= 0. (4)
Для последовательности операторов
A
0
= I, A, A
2
, … , A
k
(5)
построим последовательность их образов
Im (A
k
) Ì Im (A
k–1
) Ì … Ì Im (A) Ì Im (I) =E,
а затем последовательность пересечений этих образов с ядром оператора A :
H
k
Ì H
k–1
Ì … Ì H
1
Ì H
0
=Ker (A) (6)
(здесь H
i
= Im (A
i
) È Ker (A)).
Согласно последовательности (5) построим базис в Ker (A),
последовательно дополняя базисы предшествующих подпространств.
Заметим , что в силу соотношений (4) образ Im (A
k
) ¹ {0} и
Im (A
k
) Ì Ker (A) , поэтому
H
k
= Im (A
k
) ¹ {0}.
Пусть
• e
1
, … , e
r
– базис подпространства H
k
,
• e
1
, … , e
r
, f
1
, … , f
s
– базис подпространства H
k -1
,
• ………………………………………………………..
• e
1
, … , e
r
, f
1
, … , f
s
, … , g
u
– базис подпространства H
1
,
• e
1
, … , e
r
, f
1
, … , f
s
, … , g
u
, h
1
, … , h
t
– базис подпространства H
0
,
при этом r > 0, s
³
r, … , t
³
u. 
§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве

      • существует базис, в котором матрица этого оператора является
        квазидиагональной,
      • в ней по диагонали стоят матрицы вида (2), не возрастающие по
        размеру,
      • число таких матриц на диагонале равно геометрической кратности
        этого собственного собственного значения.
   Доказательство. Пусть E – пространство, в котором действует оператор A
и dimE=n. Тогда l= 0 – единственный корень характеристического
многочлена p(l) этого оператора. Поэтому p(l) = ±l n и в силу теоремы
Гамильтона – Кэли имеем, что A n. = 0. Среди всех следующих степеней
оператора
                  A 0 = I, A, A 2, …, A n-1, A n = 0
                                                            k
найдем последний ненулевой оператор. Пусть это будет A , тогда
                       Ak ¹ 0, а Ak+1 = 0.                                 (4)

    Для последовательности операторов
                 A 0 = I, A, A 2, …, Ak                                    (5)

построим последовательность их образов

  Im (Ak) Ì Im (Ak–1) Ì …Ì Im (A) Ì Im (I) =E,

а затем последовательность пересечений этих образов с ядром оператора A:

                   H k Ì H k–1 Ì …Ì H 1 Ì H 0=Ker (A)                       (6)

(здесь H i = Im (Ai ) È Ker (A)).
   Согласно последовательности (5) построим базис в Ker (A),
последовательно дополняя базисы предшествующих подпространств.
    Заметим, что в силу соотношений (4) образ Im (Ak ) ¹ {0} и
 Im (Ak ) Ì Ker (A) , поэтому
                                  H k = Im (Ak ) ¹ {0}.
   Пусть
      • e1 , …, e r – базис подпространства H k,
      • e1 , …, e r, f1 , …, f s – базис подпространства H k-1 ,
      • ………………………………………………………..
      • e1 , …, e r, f1 , …, f s, …, gu – базис подпространства H 1,
      • e1 , …, e r, f1 , …, f s, …, gu, h1 , …, ht – базис подпространства H 0,
   при этом r > 0, s ³ r, …, t ³ u.


                                       –6–

Страницы