Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве
–8–
Если составить такую же линейную комбинацию соответствующих
векторов второго столбца , то ее результатом будет либо вектор A
s-1
x, либо
вектор, отличающийся от него слагаемым, принадлежащим KerA. Поскольку
все базисные векторы в KerA выписаны в первом столбце таблицы (9), то
заключаем , что вектор A
s-1
x линейно выражается через векторы первого и
второго столбцов этой таблицы . Проводя аналогичные рассуждения дальше,
получим , что и вектор x линейно выражается через векторы таблицы (9).
Сказанное позволяет заключить, что векторы таблицы (9) составляют базис
пространства E.
Матрица оператора в этом базисе имеет вид , указанный в теореме.
Действительно, каждая строка таблицы (9),согласно лемме 1, обладает тем
свойством , что линейная оболочка векторов, в ней записанных, инвариантна
относительно оператора A , и матрица сужения оператора в этом ее базисе
имеет вид (2) и порядок , равный длине строки. Поэтому в базисе,
полученном последовательным объединением этих строк, матрица оператора
квазидиагональна, по диагонали в ней стоят матрицы вида (2), не
возрастающие по размеру. Количество этих матриц равно количеству строк в
таблице (9), которое, согласно построения , равно количеству базисных
векторов в KerA, то есть геометрической кратности собственного значения
l =0 оператора A. "
Замечание. Отметим , что записывая матрицу оператора A в базисе (9), мы
увидим, что размер наибольшей матрицы вида (2) на ее диагонали равен
натуральному числу k +1 такому, что
A
k
¹ 0, а A
k+1
= 0,
то есть наименьшему натуральному показателю степени этого оператора,
дающему нулевой оператор.
2. Правило 1.
Рассмотрим следующий пример.
Пример . Пусть
A
u
=
−−−
−−
−
222
333
111
– матрица линейного оператора, действующего в комплексном пространстве
Е , построенная в некотором базисе u этого пространства . Этот оператор
имеет единственное собственное значение l =0, при этом A
2
=0.
Последовательность (6) состоит для него из двух подпространств 
§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве

   Если составить такую же линейную комбинацию соответствующих
векторов второго столбца, то ее результатом будет либо вектор A s-1 x, либо
вектор, отличающийся от него слагаемым, принадлежащим KerA. Поскольку
все базисные векторы в KerA выписаны в первом столбце таблицы (9), то
заключаем, что вектор As-1 x линейно выражается через векторы первого и
второго столбцов этой таблицы. Проводя аналогичные рассуждения дальше,
получим, что и вектор x линейно выражается через векторы таблицы (9).
Сказанное позволяет заключить, что векторы таблицы (9) составляют базис
пространства E.
   Матрица оператора в этом базисе имеет вид, указанный в теореме.
Действительно, каждая строка таблицы (9),согласно лемме 1, обладает тем
свойством, что линейная оболочка векторов, в ней записанных, инвариантна
относительно оператора A, и матрица сужения оператора в этом ее базисе
имеет вид (2) и порядок, равный длине строки. Поэтому в базисе,
полученном последовательным объединением этих строк, матрица оператора
квазидиагональна, по диагонали в ней стоят матрицы вида (2), не
возрастающие по размеру. Количество этих матриц равно количеству строк в
таблице (9), которое, согласно построения, равно количеству базисных
векторов в KerA, то есть геометрической кратности собственного значения
l=0 оператора A. ‚
   Замечание. Отметим, что записывая матрицу оператора A в базисе (9), мы
увидим, что размер наибольшей матрицы вида (2) на ее диагонали равен
натуральному числу k +1 такому, что
                      Ak¹ 0, а Ak+1= 0,
то есть наименьшему натуральному показателю степени этого оператора,
дающему нулевой оператор.


  2. Правило 1.
     Рассмотрим следующий пример.
    Пример. Пусть


                                 � 1 1 −1�
                                  �            �
                           Au = � −3 −3 3 �
                                    � −2 −2 −2�
– матрица линейного оператора, действующего в комплексном пространстве
Е, построенная в некотором базисе u этого пространства. Этот оператор
имеет единственное собственное значение l=0, при этом A 2 =0.
Последовательность (6) состоит для него из двух подпространств


                                     –8–

Страницы