Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 10 стр.

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве

   Выписывая из этой таблицы векторы последовательно из первой строки,
второй и так далее, получим базис всего пространства, в котором матрица
оператора имеет квазидиагональный вид. В ней по диагонали стоят матрицы
вида (2), не возрастающие по размеру, причем размеры этих матриц
определяются длинами строк полученной таблицы и в них по диагонали
стоит собственное значение оператора.


  3. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном
     пространстве
   Теорема 2. Если l0 – единственное собственное значение линейного
оператора A , действующего в конечномерном комплексном пространстве, то
      • существует базис, в котором матрица этого оператора
        квазидиагональна,
      • в ней по диагонали стоят матрицы, не возрастающие по размеру,
        вида


                          � λ0        1    0    0�
                           � 0        λ0   1    0 ��
                            �
                              �              � ,                 (10)
                               � 0    0    0    1�
                                � 0   0    0    λ0 �
      ( все диагональные элементы равны l0 , все элементы, стоящие
      непосредственно над ними, равны 1, а все остальные равны 0).
     • Количество таких матриц на диагонали равно геометрической
       кратности этого собственного значения 0.
   Доказательство. Построим оператор B = A – l0I. Очевидно, B x = l x тогда
и только тогда, когда Ax = (l + l0)x. Поэтому оператор B имеет
единственное собственное значение l = 0, причем его геометрическая
кратность совпадает с геометрической кратностью собственного значения l0
оператора A. Применяя к оператору B теорему 1, получим справедливость
теоремы 2. ‚
   Замечание. Для построения базиса, в котором матрица оператора A имеет
указанный в теореме 2 вид, достаточно построить таблицу (9) для оператора
B = A –l0I.
   Определение. Матрица вида (10) называется жордановой клеткой с
числом l0 на диагонали. Квазидиагональная матрица, в которой по диагонали
стоят не возрастающие по размеру жордановы клетки с числом l0 на
диагонали, называется жордановоым блоком с этим числом на диагонали.


                                            –10–