Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве
– 9 –
H
1
Ì H
0
= KerA.
Согласно (7) имеем , что H
1
= ImA, и потому базис в H
1
составляет вектор
е
1
= (1,-3,2)
и
= A(x
1
), где x
1
= (1,0,0)
и
. Дополнение вектора е
1
до базиса в H
0
дает вектор f
1
= (-1,1,0). Таблица (9) для данного оператора имеет вид:
е
1
= A(x
1
) = (1,-3,2)
и
, x
1
= (1,0,0)
и
f
1
= (-1,1,0).
Эти векторы составляют базис, в котором матрица оператора A имеет вид
000
000
010
.
Для общего случая дадим правило.
Правило 1 (построения таблицы (9)).
1. Для оператора A составить последовательность
A
0
=I , A
1
, A
2
, … , A
k
¹ 0 , A
k+1
= 0.
2. Вычислить матрицы этих операторов в некотором базисе u ,
транспонировать и расположить горизонтально в блочную матрицу
в обратном порядке, исключая матрицу оператора A
k +1
= 0:
( (A
k
)
u
T
| (A
k-1
)
u
T
| … | (A
2
)
u
T
| A
u
T
| E ).
3. Элементарными преобразованиями строк всей блочной матрицы
добиться того, чтобы в первом блоке первыми стояли базисные
строки, а остальные строки были нулевыми.
4. Каждую нулевую строку в первом блоке выбросить, а ее
продолжение в следующих блоках передвинуть влево на n позиций ,
где n – длина выброшенной строки.
5. В первом блоке прежние его строки дополнить до системы
базисных, а из остальных строк сделать нулевые, выполняя
элементарные преобразования над строками блочной матрицы без
последних n позиций в них .
6. Выполнить п . 4 и так далее.
Полученная в итоге таблица будет представлять таблицу (9) для
оператора A , причем все векторы будут представлены своими координатами
в исходном базисе u . 
§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве

                         H1Ì H0 = KerA.
   Согласно (7) имеем, что H1= ImA, и потому базис в H1 составляет вектор
е1= (1,-3,2)и = A(x1 ), где x1 = (1,0,0) и . Дополнение вектора е1 до базиса в H0
дает вектор f 1= (-1,1,0). Таблица (9) для данного оператора имеет вид:
   е 1= A(x1 ) = (1,-3,2) и, x1 = (1,0,0) и
   f1 = (-1,1,0).
   Эти векторы составляют базис, в котором матрица оператора A имеет вид
                              � 0 1 0�
                               � 0 0 0�
                                � 0 0 0� .
                                 �      �
   Для общего случая дадим правило.
   Правило 1 (построения таблицы (9)).
     1. Для оператора A составить последовательность

              A0 =I , A1, A2, …, Ak            0,     Ak+1 = 0.

      2. Вычислить матрицы этих операторов в некотором базисе u ,
          транспонировать и расположить горизонтально в блочную матрицу
                                                          k+1
          в обратном порядке, исключая матрицу оператора A = 0:

              ( (Ak)uT |    (Ak-1)uT |   … |         (A2 )uT | Au T | E   ).
      3. Элементарными преобразованиями строк всей блочной матрицы
         добиться того, чтобы в первом блоке первыми стояли базисные
         строки, а остальные строки были нулевыми.

      4. Каждую нулевую строку в первом блоке выбросить, а ее
         продолжение в следующих блоках передвинуть влево на n позиций,
         где n – длина выброшенной строки.

      5. В первом блоке прежние его строки дополнить до системы
         базисных, а из остальных строк сделать нулевые, выполняя
         элементарные преобразования над строками блочной матрицы без
         последних n позиций в них.

      6. Выполнить п. 4 и так далее.

      Полученная в итоге таблица будет представлять таблицу (9) для
оператора A, причем все векторы будут представлены своими координатами
в исходном базисе u.



                                              – 9–

Страницы