Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве
– 11 –
Теорема 3. (О жордановой форме матрицы оператора в комплексном
пространстве)
Если l
1 ,
l
2
,
… , l
s
– все собственные значения линейного оператора A ,
действующего в конечномерном комплексном пространстве E , то
• существует базис, в котором матрица этого оператора
квазидиагональна,
• в ней по диагонали стоят жордановы блоки в количестве, равном s ,
имеющие на диагонали числа l
1 ,
l
2
, … , l
s
соответственно.
Доказательство. Запишем разложение характеристического многочлена
такого оператора:
s
k
s
kk
p )()()()(
21
21
λλλλλλλ −⋅⋅−⋅−±= K
В силу теоремы Гамильтона–Кэли имеем , что
0)()()(
21
21
=−⋅⋅−⋅−
s
k
s
kk
IAIAIA λλλ K
.
Введем два подпространства:
).)()((
,)(
2
1
21
11
s
k
s
k
k
IAIAKerM
IAKerL
λλ
λ
−⋅⋅−=
−=
K
Эти подпространства обладают следующими свойствами:
1. L
1
и M
1
инвариантны относительно оператора A.
2. L
1
и M
1
образуют прямую сумму.
3. E = L
1
+
&
M
1
.
Действительно, инвариантность подпространства L
1
вытекает из
следующей последовательности импликаций :
x Î L
1
Þ
1
)(
1
k
IA
λ
−
x = 0 Þ A
1
)(
1
k
IA λ −
x = 0 Þ
Þ
1
)(
1
k
IA λ −
A x = 0 Þ A x Î L
1
.
Инвариантность подпространства M
1
доказывается аналогично. Для
доказательства свойств 2 и 3 воспользуемся тем , что два многочлена
1
)(
1
k
λλ −
и
ks
s
k
)()(
2
2
λλλλ −⋅⋅− K
взаимно просты и поэтому существуют многочлены u(l) и v(l), такие,
что
1 = u(l) ·
1
)(
1
k
λλ −
+ v(l) · (
ks
s
k
)()(
2
2
λλλλ −⋅⋅− K
)
На этом основании запишем равенства для многочленов от оператора A :
I= u(A) ·
1
)(
1
k
IA λ −
+ v(A) · (
ks
s
k
IAIA )()(
2
2
λλ −⋅⋅− K
). (11) 
§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве

  Теорема 3. (О жордановой форме матрицы оператора в комплексном
пространстве)
   Если l1 , l2 , …, ls – все собственные значения линейного оператора A ,
действующего в конечномерном комплексном пространстве E, то
      • существует базис,                 в    котором           матрица   этого        оператора
        квазидиагональна,
      • в ней по диагонали стоят жордановы блоки в количестве, равном s,
        имеющие на диагонали числа l1 , 2 , …, ls соответственно.
   Доказательство. Запишем разложение характеристического многочлена
такого оператора:
                    p (λ ) =±(λ −λ1 ) k1 ⋅ (λ −λ2 ) k2 ⋅ ⋅ (λ −λs ) k s
  В силу теоремы Гамильтона–Кэли имеем, что
                     ( A −λ1 I ) k1 ⋅( A −λ2 I ) k2 ⋅ ⋅ ( A −λs I ) k s =0 .
  Введем два подпространства:
   L1 =Ker ( A −λ1 I ) k1 ,
   M 1 =Ker (( A −λ2 I ) k 2 ⋅ ⋅ ( A −λs I ) k s ).
  Эти подпространства обладают следующими свойствами:
  1. L1 и M1 инвариантны относительно оператора A.
  2. L1 и M1 образуют прямую сумму.
             M1.
  3. E = L1 +
    Действительно, инвариантность подпространства                          L1   вытекает       из
следующей последовательности импликаций:

    x Î L1 Þ    ( A −λ1 I ) k   1
                                    x = 0 Þ A ( A −λ1 I )
                                                            k1
                                                                 x=0 Þ

         Þ ( A −λ1 I ) 1 A x = 0 Þ A x Î L1 .
                           k

     Инвариантность подпространства M1 доказывается аналогично. Для
   доказательства свойств 2 и 3 воспользуемся тем, что два многочлена
                      (λ −λ1 ) k1 и (λ −λ2 ) k 2 ⋅ ⋅ (λ −λs ) ks
   взаимно просты и поэтому существуют многочлены u(l) и v(l), такие,
что
    1 = u(l) · (λ −λ1 )  + v(l) · ( (λ −λ2 ) ⋅ ⋅ (λ −λs ) )
                               k1                                 k2               ks


  На этом основании запишем равенства для многочленов от оператора A:
     I= u( A)     ( A −λ1 I ) k1 + v( A) · ( ( A −λ2 I ) k 2 ⋅ ⋅ ( A −λs I ) ks ).         (11)

                                              – 11 –

Страницы