Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 13 стр.

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве



     Согласно свойству 4 многочлен p1(l) имеет единственный корень l = l1
, а многочлен q1 (l) не имеет этого числа среди своих корней. Поэтому

  p 1(l) = ± (λ −λ1 ) , q1 (l) = ± (λ −λ2 )          ⋅ ⋅ (λ −λs ) ks .
                     1k                         k2



    Наконец, доказывая свойство 6, заметим, что размерность
подпространства L1 совпадает со степенью характеристического многочлена
p1(l). Следовательно, dim L1= k1 ..
    По аналогии с подпространством L1 построим подпространства
                    Li = Ker ( A −λi I ) i .
                                        k
                                                                          (13)
Каждое из них могло бы оказаться на месте L1 в предыдущих рассуждениях,
если бы были переставлены сомножители в разложении p (l). Отсюда
следует, что
   • каждое     подпространство      Li    инвариантно     относительно
     оператора A,
   • сужение оператора A на подпространство Li имеет характеристический

      многочлен, равный         ±   (λ −λi ) ki ,
  •   dim Li= ki.
  Докажем, что подпространства
                          L1, L2, …, Li, … Ls
образуют прямую сумму. Для этого достаточно показать, что каждое из них
пересекается с суммой остальных лишь по нулевому элементу. Покажем, что
этим свойством обладает L 1, а в силу отмеченной выше равнозначности этих
подпространств будем иметь, что и любое Li обладает им.
    Отметим, что L2, …, Li , … Ls Ì M1 (это непосредственно следует из
способа построения этих подпространств), поэтому L2 + Li + … + Ls Ì M1 .
Но пересечение L1 È M1={0}, следовательно, L1 È ( L2 + Li + … + Ls ) ={0}.
   Итак, сумма подпространств L1+ L2 + Li + … + Ls является прямой, ее
размерность равна сумме размерностей этих подпространств, поэтому
имеем,что k1 + k2+…+ ki+…+ ks= dimE, откуда следует
                      E =L1 + L2 +
                                   +
                                       Li +
                                             Ls .
Сужение оператора A на каждое подпространство Li обладает единственным
собственным значением l = li и потому в силу теоремы 1 существует базис
этого подпространства, в котором матрица сужения имеет вид жорданового
блока с числом li на диагонали.
Объединяя эти базисы подпространств, получим базис всего пространства E,
в котором матрица оператора A имеет квазидиагональный вид с
соответствующими жордановыми блоками по диагонали:
                                       – 13 –