Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве
– 15 –
Задача 2. На основе задачи 1 докажите, что количество клеток в
жордановой форме матрицы оператора A с числом l
i
на диагонали, размер
которых больше t, равно разности
r
t+1
– r
t
,
где r
k
= rank(A – l
i
I)
k
.
Задача 3. Докажите, что количество клеток в жордановой форме матрицы
оператора A с числом l
i
на диагонали размера t равно числу
r
t+1
– 2r
t
+ r
t–1
.
Определение. Корневым подпространством оператора A ,
соответствующим его собственному значению l
i
, называется
подпространство L
i
, определяемое соотношением (13).
4. Правило 2.
Правило 2 (построения жорданового базиса и жордановой формы
матрицы оператора, действующего в комплексном пространстве).
Для каждого собственного значения l
0
данного оператора A выполнить
следующую последовательность действий .
1. Построить оператор B = A – l
0
I.
2. Определить наименьший натуральный показатель s , обладающий
свойством
dimKer B
s
= k,
где k – алгебраическая кратность собственного значения l
0 .
3. Рассмотреть последовательностей степеней оператора B :
B
0
= I, B, B
2
, … , B
s-1
, B
s
.
4. Матрицы этих операторов в некотором базисе е транспонировать и
записать в обратном порядке в блочную матрицу :
( (B
s
е )
Т
| (B
s-1
е )
Т
|… |(B
2
е )
Т
| (Bе )
Т
| E).
5. В первом блоке выделить базисные строки, а из остальных его строк
сделать нулевые посредством элементарных преобразований
системы строк всей блочной матрицы .
6. Удалить нулевые строки первого блока, а другие строки этого блока
удалить вместе с их продолжениями во всей блочной матрице.
7. Над оставшейся матрицей выполнить преобразования согласно
правилу 1. 
§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве

   Задача 2. На основе задачи 1 докажите, что количество клеток в
жордановой форме матрицы оператора A с числом li на диагонали, размер
которых больше t, равно разности
                            rt+1– rt ,
где rk = rank(A – liI) .
                      k


   Задача 3. Докажите, что количество клеток в жордановой форме матрицы
оператора A с числом li на диагонали размера t равно числу
                               rt+1– 2rt + rt–1 .
   Определение.      Корневым      подпространством            оператора    A,
соответствующим      его   собственному    значению            li , называется
подпространство Li, определяемое соотношением (13).


    4. Правило 2.

    Правило 2 (построения жорданового базиса и жордановой формы
матрицы оператора, действующего в комплексном пространстве).
   Для каждого собственного значения l0 данного оператора A выполнить
следующую последовательность действий.
      1. Построить оператор B = A – l0I.
      2. Определить наименьший натуральный показатель s, обладающий
         свойством
                                  dimKer B s = k,
         где k – алгебраическая кратность собственного значения l0 .
      3. Рассмотреть последовательностей степеней оператора B:
                            B0 = I, B, B2, …, Bs-1, Bs.
      4. Матрицы этих операторов в некотором базисе е транспонировать и
         записать в обратном порядке в блочную матрицу:
                 ( (Bsе)Т | (Bs-1е)Т |…|(B2е)Т | (Bе)Т | E).
      5. В первом блоке выделить базисные строки, а из остальных его строк
         сделать нулевые посредством элементарных преобразований
         системы строк всей блочной матрицы.
      6. Удалить нулевые строки первого блока, а другие строки этого блока
         удалить вместе с их продолжениями во всей блочной матрице.
      7. Над оставшейся матрицей выполнить преобразования согласно
         правилу 1.

                                     – 15 –

Страницы