Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве
–14–
KK
K
K
K
K
KKKKK
K
K
K
KK
K
K
K
K
KKKKK
K
K
1
000
1000
010
001
1
000
1000
010
001
1
1
1
1
s
s
s
s
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
(14)
Теорема доказана. "
Определение. Матрица (14) называется жордановой формой матрицы
оператора A , а базис, в котором она построена, жордановым базисом этого
оператора .
Следствие. Размер наибольшей клетки в жордановом блоке жордановой
формы матрицы оператора A с собственным значением l
i
на диагонали
равен наименьшему натуральному числу s такому, что
dimKer (A – l
i
I)
s
= k
i
, (15)
где k
i
– алгебраическая кратность собственного значения l
i
этого оператора.
Действительно, согласно доказательству теоремы 2 и замечанию к
теореме 1 размер этой клетки равен наименьшей степени s сужения
оператора (A – l
i
I) на подпространство L
i
, которая делает из этого сужения
нулевой оператор, что равносильно соотношению (15) в силу равенства
dim L
i
= k
i
. "
Задача 1. Докажите, что при возведении матрицы (2) в степень s ее
первые s столбцов становятся нулевыми, а остальные остаются линейно
независимыми между собой . 
§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве

� ��               λ1   1    0    0�                        �                                                            �
 � ��                                                                                                                     �
  � ��             0    λ1   1    0 ��                      �
                                                                                                                          �
                               �                        �
   � ��                                                      �                                                            �
    � ��           0    0    0    1�                                                                                     �
                             0    λ1 �                      �
     � ��          0    0
                                                             �                                                            �
      � �                                                    �                                                            �
       � �                                                                                                               �
                                                             �
        � �                                   � λ1 1 � �                                                                 �
         � �                                   ��        �� �                                                             �
          � �                                     �  �     �                                                            �
           � �                                               �                                                            �
            � �                                              �                                                            �
             � �                                             �                                                            �
�                                                                                                                        �
�                                                                                                                         �
�                                                                    � � λs      1    0    0�                         � �
�                                                                     � � 0      λs   1    0 ��                       � �
�                                                                      � �              �                         � �
�                                                                       � � 0    0    0    1�                         � �
�                                                                        � � 0   0    0    λs �                       � �
�                                                                         � �                                          � �
�                                                                    �                                                � �
�                                                                    �                                                 � �
�                                                                    �                                 � λ s 1 �      � �
�                                                                    �                                  ��        ��   � �
�                                                                    �                                     �  �      � �    (14)
�                                                                    �                                                 � �
�                                                                    �                                                 � �
�                                                                    �                                                 � �


Теорема доказана. ‚
   Определение. Матрица (14) называется жордановой формой матрицы
оператора A, а базис, в котором она построена, жордановым базисом этого
оператора.
   Следствие. Размер наибольшей клетки в жордановом блоке жордановой
формы матрицы оператора A с собственным значением li на диагонали
равен наименьшему натуральному числу s такому, что
                   dimKer (A – liI) s = k i,                           (15)
где ki – алгебраическая кратность собственного значения i этого оператора.
   Действительно, согласно доказательству теоремы 2 и замечанию к
теореме 1 размер этой клетки равен наименьшей степени s сужения
оператора (A – li I) на подпространство Li, которая делает из этого сужения
нулевой оператор, что равносильно соотношению (15) в силу равенства
 dim Li = ki.
   Задача 1. Докажите, что при возведении матрицы (2) в степень s ее
первые s столбцов становятся нулевыми, а остальные остаются линейно
независимыми между собой.



                                                                 –14–

Страницы