Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве
–12–
I=
1
)(
1
k
IA λ −
· u(A) + (
ks
s
k
IAIA )()(
2
2
λλ −⋅⋅− K
) · v ( A ). (12)
Запишем импликации, применяя соотношение (11):
⇒
=−⋅⋅−
=−
⇒
∈
∈
⇒∩∈
0)()(
0)(
2
2
2
1
1
1
11
xIAIA
xIA
Mx
Lx
MLx
ks
s
k
k
λλ
λ
K
0
0
=
⇒
=
⇒
x
Ix
.
Следовательно, L
1
È M
1
= {0} и сумма L
1
+M
1
является прямой .
Далее, в силу (12) для любого вектора x Î E имеем
Ix =
1
)(
1
k
IA λ −
· u ( A ) x + (
ks
s
k
IAIA )()(
2
2
λλ −⋅⋅− K
) · v ( A ) x .
Обозначим здесь первое и второе слагаемые соответственно x
2
и x
1
. Тогда
x
= x
1
+ x
2
,
при этом
x
1
=(
ks
s
k
IAIA )()(
2
2
λλ −⋅⋅− K
) · v ( A ) x Î Ker
1
)(
1
k
IA λ −
= L
1
x
2
=
1
)(
1
k
IA λ −
· u ( A ) x Î M
1
.
Следовательно, E = L
1
+ M
1
.
Отметим еще ряд свойств подпространств L
1
и M
1
:
4. Собственное подпространство
)(
1
λ
R
Ì L
1
, а все другие собственные
подпространства
)()(
,,
2 s
RR
λλ
K
Ì M
1
.
5. Сужения оператора A на подпространства L
1
и M
1
имеют
характеристические многочлены , соответственно равные
1
)(
1
k
λλ −
и
ks
s
k
)()(
2
2
λλλλ −⋅⋅− K
.
6. dim L
1
= k
1
.
Действительно, последовательность импликаций
x Î
)(
1
λ
R
Þ
)(
1
IA λ −
x =0 Þ
1
)(
1
k
IA λ −
x =0 Þ A x Î L
1
показывает, что
)(
1
λ
R
Ì L
1
. Включение остальных подпространств в M
1
показывается аналогично. Этим мы доказали свойство 4 .
Для доказательства свойства 5 характеристические многочлены сужений
оператора A на подпространства L
1
и M
1
обозначим соответственно через
p
1
( l ) и q
1
(l). Если в этих подпространствах выбрать базисы , то объединение
их даст базис пространства E, а определяя по матрице оператора A в этом
базисе его характеристический многочлен , получим , что p ( l ) =
p
1
(l) × q
1
(l), то есть
p
1
( l ) × q
1
(l) = ±
1
)(
1
k
λλ −
(
ks
s
k
)()(
2
2
λλλλ −⋅⋅− K
). 
§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве


     I= ( A −λ1 I ) · u( A)                       ( ( A −λ2 I ) 2 ⋅ ⋅ ( A −λs I ) )· v( A).
                       k1                                      k                  ks
                                        +                                                          (12)

Запишем импликации, применяя соотношение (11):
                       � x ∈L1       �� ( A −λ1 I ) k 2 x =0
       x ∈L1 ∩ M 1 ⇒ �           ⇒ �                                                 ⇒
                        � x ∈M 1       � � ( A −λ 2 I ) k2
                                                           ⋅ ⋅ ( A −λ s I ) ks
                                                                                x =0


                                              ⇒ Ix =0 ⇒ x =0 .
Следовательно, L1 M1 = {0} и сумма L1 +M1 является прямой.
  Далее, в силу (12) для любого вектора xÎ E имеем
    Ix = ( A −λ1 I ) · u(A)x + ( ( A −λ2 I ) ⋅ ⋅ ( A −λs I ) )· v( A)x.
                        k1                                           k2                 ks


  Обозначим здесь первое и второе слагаемые соответственно x2 и x1. Тогда
                             x = x1 + x 2,
при этом
     x 1 =( ( A −λ2 I )           ⋅ ⋅ ( A −λs I ) ks )· v(A)x Î Ker ( A −λ1 I ) k1 = L1
                             k2


     x 2 = ( A −λ1 I ) · u(A)x Î M1 .
                            k1

  Следовательно, E = L1 + M1.
  Отметим еще ряд свойств подпространств L1 и M1 :
  4. Собственное подпространство R (λ1 ) Ì L1, а все другие собственные
                                     ( λ2 )            ( λs )
    подпространства R    , , R Ì M1.
  5. Сужения оператора A на подпространства L1 и                                             M1   имеют
    характеристические многочлены, соответственно равные
     (λ −λ1 ) k1 и (λ −λ2 ) k 2 ⋅ ⋅ (λ −λs ) ks .
  6. dim L1 = k1 .

  Действительно, последовательность импликаций
          ( λ1 )
                   Þ ( A −λ1 I ) x =0 Þ ( A −λ1 I )
                                                                     k1
    xÎR                                                                   x =0 Þ A x Î L1
                        (λ )
показывает, что R 1 Ì L1. Включение остальных подпространств в M1
показывается аналогично. Этим мы доказали свойство 4.

    Для доказательства свойства 5 характеристические многочлены сужений
оператора A на подпространства L1 и M1 обозначим соответственно через
p1(l) и q1 (l). Если в этих подпространствах выбрать базисы, то объединение
их даст базис пространства E, а определяя по матрице оператора A в этом
базисе его характеристический многочлен, получим, что p(l) =
p1(l) × q1 (l), то есть

    p1 (l) × q1(l) = ± (λ −λ1 ) ( (λ −λ2 )                           ⋅ ⋅ (λ −λs ) ks ).
                               1              k                 k2




                                                       –12–

Страницы