Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 16 стр.

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве

    Полученная в результате таблица даст жорданов базис для сужения
оператора A на корневое подпространство, соответствующее
собственному значению l0. В этом базисе матрица сужения имеет вид
жорданового блока с числом l0 на диагонали, размеры клеток в котором
определяются длинами строк полученной таблицы.
    Объединяя построенные таким образом базисы всех корневых
подпространств оператора, и выстраивая соответствующие им жордановы
блоки по диагонали, можно получить жорданов базис и соответствующую
жорданову форму матрицы оператора A.
    Пример. Построить жорданов базис и жорданову форму матрицы
оператора, действующего в комплексном пространстве и заданного матрицей
в некотором базисе е:
                                            � 6     −9            5   4�
                                             � 7    −13           8   7�
                                       Aе= � 8      −17          11   8� .
                                              � 1   −2                3 ��
                                               �                  1
    Характеристический многочлен этого оператора
                                                             3
                                   p(l) = (l –2) (l –1).
    Положим   0=   2.
        1. Оператор B = A – 2I имеет в базисе е матрицу
                                                 � 4     −9        5      4�
                                                  � 7    −15       8      7�
                                           Bе = � 8      −17       9      8� .
                                                   � 1   −2               1 ��
                                                    �              1
                                                                                                2
        2. Определяем, что dimKer B = 2, а                                           dimKer B       = 3.
           Следовательно, s = 2.
        3. Рассматриваем последовательность
                                            B0 = I, B, B2.
        4. По этой последовательности записываем блочную матрицу
           согласно п.4 правила 2:
                        � −3      −6   −7 −1             4   −9       5   4 1    0   0   0�
                         � 6      12    4   2            7   −15      8   7 0    1   0   0� .
                          � −3    −6   −7 −1             8   −17      9   8 0    0   1   0�
                           � −3
                            �     −6   −7 −1             1   −2       1   1 0    0   0   1 ��

        5. В первом блоке этой матрицы первую строку выбираем за
           систему базисных строк, из остальных строк этого блока делаем
           нулевые, выполняя элементарные преобразования системы строк
           всей блочной матрицы:


                                             –16–