Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 17 стр.

§1. Жорданова форма матрицы оператора в комплексном пространстве

                                � 3      −6   −7   1   4            7       8        1 1 0    0   0�
                                 � 0      0   0    0   −1           −1      −1       0 2 1    0   0�
                                  � 0     0   0    0    1           1       1        0 −1 0   1   0�
                                   � 0    0   0    0                                 0 −1 0   0   1 ��
                                    �                  0            0       0

        6. В первом блоке удаляем нулевые строки, а оставшуюся первую
           строку убираем вместе с их продолжениями во всей матрице:
                                              � −1 −1 −1 0 2 1 0 0 �
                                               � 0 0 0 0 1 1 1 0� .
                                                � 0 0 0 0 −1 0 0 1 �
                                                 �                   �

        7. Над полученной матрицей выполняем преобразования правила 1:
        � −1 −1 −1 0 2 1 0 0 �          � −1 −1 −1 0 2 1 0 0 �
         �                     �         � 0 0 0 0             � → � −1 −1 − 1 0 2 1 0 0 � .
           ��    1 1 1 0         ��   →                             � −1 0 0 1            �
                                          � −1 0 0 1            �    �                      �
              � −1 0 0 1            �      �                      �
  Следовательно, векторы
            g1 = (–1, –1, – 1, 0)е , g2 = (2, 1, 0, 0)е, g3 = (–1, 0, 0, 1 )е
составляют жорданов базис для сужения оператора А на корневое
подпространство, отвечающее собственному значению l = 2. Матрицей этого
сужения в таком базисе будет квазидиагональная матрица
                                          � 2 1                 �
                                           � 0 2                �
                                            �                   � .
                                              �            2 �
                                                �               �
                                          �                     �
  Положим l0 = 1. Его алгебраическая кратность k =1. Оператор B = A – E
имеет в базисе e матрицу
                                                   � 5 −9 5 4 �
                                                    � 7 −14 8 7 �
                                         Ве    =     � 5 8 10 1 � ,
                                                      � 4 7 8 2�
                                                       �          �
при этом dim KerB =1 = k. Следовательно, s = 1. По последовательности
операторов
                                                   I, B
составляем блочную матрицу
                                � 5       7 5          4    1       0   0   0    �
                                 � −9    −14 8         7    0       1   0   0    �
                                  � 5     8 10         8    0       0   1   0    � .
                                   � 4    7 1          2    0       0   0   1    �
                                    �                                            �
В первом блоке выберем за базисные первые три строки. Устанавливаем
(решая соответствующую линейную систему), что четвертая строка
выражается через них с коэффициентами, равными –3, –6, –7. Во всей
блочной матрице прибавим к четвертой строке первые с предварительным
                                                 – 17 –