Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 19 стр.

     §2. Канонический базис симметричной билинейной формы________


   Замечание 1. Благодаря симметричности матрицы квадратичной формы
утверждение леммы останется справедливым, если в ее формулировке
поменять местами порядок действий над строками и над столбцами, то есть
сначала    выполнить    действие    над   столбцами,    соответствующее
преобразованию базиса, а затем продублировать его действием над строками
получившейся матрицы.
   Замечание 2. В силу замечания 1 можно выполнять ряд действий над
системой строк, а затем продублировать их действиями над столбцами, или
наоборот.
   Если А – симметричная билинейная форма, то описанными
преобразованиями ее матрицы можно получить диагональную матрицу. Если
же над исходным базисом выполнить элементарные преобразования,
соответствующие выполненным преобразованиям матрицы, то получим
базис, в котором форма А имеет эту диагональную матрицу. Таким образом,
справедлива следующая теорема.
   Теорема 4 (О каноническом базисе симметричной билинейной
формы). Для всякой симметричной билинейной формы в конечномерном
пространстве существует базис, в котором эта форма имеет диагональную
матрицу. ‚
   Определение. Базис, в котором симметричная билинейная форма имеет
диагональную матрицу, называется каноническим базисом этой формы, а
диагональные    элементы      матрицы    называются    каноническими
коэффициентами формы в этом базисе.
   Правило 3 (построения канонического базиса симметричной
билинейной формы).
     1. Составить блочную матрицу из двух горизонтальных блоков, в
        которые вписать по порядку матрицу билинейной формы в данном
        базисе е и единичную матрицу.
     2. Выполняя элементарные преобразования системы строк блочной
        матрицы и дублируя их преобразованиями системы столбцов в
        первом блоке, добиться того, чтобы матрица в первом блоке
        приобрела диагональный вид.
     3. Полученная блочная матрица содержит в своем втором блоке
        канонический базис данной билинейной формы. Координаты его
        векторов относительно исходного базиса е записаны в строках этого
        блока. В первом блоке той же матрицы записана матрица
        билинейной формы в этом каноническом базисе.
   Пример. Построить канонический базис и найти соответствующие
канонические коэффициенты для симметричной билинейной формы,
заданной своей матрицей в некотором базисе е:
                                     � 1 2 −1�
                               Ае = � 2 3 4 � .
                                      � −1 4 0 �
                                       �         �
                                 – 19 –