Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§2. Канонический базис симметричной билинейной формы________
– 21 –
При указанных преобразованиях матрицы не изменились значения всех
левых верхних миноров. Поэтому элемент b
22
=
1
2
11
2
∆
∆
=
∆
a
¹0. Продолжая
процесс аналогичным образом , приведем матрицу к диагональному виду , и в
ней по диагонали будут стоять элементы
.,,,,,
111
2
211
−−
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=∆=
n
n
n
k
k
k
λλλλ KK
Отметим , что полученная диагональная матрица является матрицей
данной симметричной билинейной формы в базисе, который из данного
базиса е получается соответствующими элементарными преобразованиями.
Эти преобразования обеспечивают такое свойство нового базиса
f
1
, f
2
, … , f
k
, … , f
n
, что каждый вектор f
k
Î L(е
1
, е
2
, … , е
k
), откуда следуют
равенства L ( е
1
, е
2
, … , е
k
) = L(f
1
, f
2
, … , f
k
) при k = 1, … , n. "
Определение. Симметричная билинейная форма A(x, y), заданная в
вещественном пространстве, называется положительно определенной , если
A ( x , x) > 0, когда x ¹ 0.
Теорема 6 (О критерии положительной определенности ).
Симметричная билинейная форма в конечномерном вещественном
пространстве является положительно определенной тогда и только тогда,
когда в произвольном каноническом базисе все канонические коэффициенты
l
1
, l
2
, … , l
k
,… , l
n
положительны .
Доказательство. Пусть A ( x , y) – симметричная билинейная форма и
l
1
, l
2
, … , l
k
,… , l
n
– ее канонические коэффициенты в базисе
е
1
, е
2
, … , е
k
, … е
n
. Поскольку l
k
= A(е
k
, е
k
), то в случае, когда A ( x , y)
положительно определенная , все канонические коэффициенты
положительны . Обратно, если все канонические коэффициенты
положительны , то по каноническому виду этой билинейной формы :
A(x, y) = l
1
x
1
y
1
+l
2
x
2
y
2
+ … + +l
n
x
n
y
n
устанавливаем , что A(x, x) >0 при x ¹ 0. "
Теорема 7 (Сильвестра). Симметричная билинейная форма A(x, y) в
конечномерном вещественном пространстве является положительно
определенной тогда и только тогда , когда в ее
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
K
KKKK
K
K
21
22221
11211
матрице все левые верхние угловые миноры
n
∆
∆
∆
,,,
21
K положительны .
Доказательство. Достаточность условия вытекает из теоремы Якоби.
Покажем его необходимость. Пусть е
1
, е
2
, … , е
k
, … е
n
– базис, в котором
составлена эта матрица . В силу положительной определенности формы
имеем , что D
1
= а
11
= A(е
1
, е
1
) >0. Теперь обратимся к доказательству теоремы 
      §2. Канонический базис симметричной билинейной формы________


     При указанных преобразованиях матрицы не изменились значения всех
                                                                     ∆   ∆
левых верхних миноров. Поэтому элемент b22= 2 = 2 ¹0. Продолжая
                                                                     a11 ∆1
процесс аналогичным образом, приведем матрицу к диагональному виду, и в
ней по диагонали будут стоять элементы
                                      ∆                     ∆            ∆
                       λ1 =∆ 1 , λ 2 = 2 ,  , λ k = k ,  , λ n = n .
                                      ∆1                    ∆ k −1       ∆ n −1
     Отметим, что полученная диагональная матрица является матрицей
данной симметричной билинейной формы в базисе, который из данного
базиса е получается соответствующими элементарными преобразованиями.
Эти преобразования обеспечивают такое свойство нового базиса
 f 1, f 2, …, f k , …, f n , что каждый вектор f k Î L(е1 , е2 , …, еk), откуда следуют
равенства L(е 1, е2 , …, еk ) = L(f1, f 2, …, f k) при k = 1, …, n. ‚
     Определение. Симметричная билинейная форма A(x, y), заданная в
вещественном пространстве, называется положительно определенной, если
A(x, x) > 0, когда x¹0.
     Теорема 6 (О критерии положительной определенности).
     Симметричная билинейная форма в конечномерном вещественном
пространстве является положительно определенной тогда и только тогда,
когда в произвольном каноническом базисе все канонические коэффициенты
l1, l2 , …, lk ,…, ln положительны.
     Доказательство. Пусть A(x, y) – симметричная билинейная форма и
 l1 , l2, …, lk ,…, n – ее канонические коэффициенты в базисе
 е1 , е2, …, е k , … еn. Поскольку lk = A(еk , еk), то в случае, когда A(x, y)
положительно            определенная,               все     канонические        коэффициенты
положительны.           Обратно, если                  все канонические коэффициенты
положительны, то по каноническому виду этой билинейной формы:
                           A(x, y) = l1x 1 y1 +l2x2 y 2 + …+ +lnx n yn
устанавливаем, что A(x, x) >0 при x¹0. ‚
      Теорема 7 (Сильвестра). Симметричная билинейная форма A(x, y) в
конечномерном вещественном пространстве является положительно
определенной тогда и только тогда, когда в ее
                                        � a11 a12  a1n �
                                         � a a  a �
                                          � 21 22             2n �

                                           �                   �
                                             � a n1 a n 2  a nn �
матрице все левые верхние угловые миноры ∆1 , ∆ 2 ,  , ∆ n положительны.
     Доказательство. Достаточность условия вытекает из теоремы Якоби.
Покажем его необходимость. Пусть е1, е2 , …, еk , … еn – базис, в котором
составлена эта матрица. В силу положительной определенности формы
имеем, что D1 = а11= A(е 1, е1 ) >0. Теперь обратимся к доказательству теоремы


                                          – 21 –

Страницы