Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§3. Задача о паре квадратичных форм_________________
– 23 –
§3. Задача о паре квадратичных форм
Задача построения общего канонического базиса для двух квадратичных
форм встречается в ряде вопросов физики, механики, дифференциальной
геометрии. Не всегда такой базис существует, поэтому важно установить
критерий его существования . Поставленная задача в двух частных случаях
имеет простое решение. Рассмотрим эти случаи.
1. Первый случай.
Теорема 9. Если A , B – две квадратичные формы в конечномерном
вещественном пространстве Е , и B – положительно определенная форма, то
существует общий канонический базис для этих квадратичных форм .
Доказательство. Введем в пространстве Е скалярное произведение,
полагая (x, y) = B(x, y), где B ( x , y) – симметричная билинейная форма,
порождающая квадратичную форму B. Тогда существует
ортонормированный канонический базис для квадратичной формы A,
обозначим его e. Этот же базис будет каноническим и для билинейной
формы B(x, y), потому что матрица ее в этом базисе окажется единичной .
Следовательно, базис e – канонический для обеих квадратичных форм
A и B."
Проведенное доказательство оставляет в тени способ построения общего
канонического базиса в отмеченном случае. Найдем такой способ .
Пусть f – базис, в котором заданы матрицы обеих квадратичных форм A и
B, а e – канонический базис, который фигурирует в доказательстве теоремы
с тем же обозначением . Отметим соотношения
B
e
= P
ef
T
B
f
P
ef
и A
e
= P
ef
T
A
f
P
ef
.
Поскольку B
e
– единичная матрица, то
A
e
= B
e
–1
P
ef
T
A
f
P
ef
= P
ef
–1
B
f
–1
(P
ef
T
)
–1
P
ef
T
A
f
P
ef
= P
ef
–1
(B
f
–1
A
f
)P
ef
.
В силу полученного соотношения на матрицу A
e
можно смотреть как на
диагональную матрицу оператора , который в базисе f имел матрицу ,
равную B
f
–1
A
f
, а на базис e , как на базис из собственных векторов этого
оператора . Но базис e – ортонормированный относительно скалярного
произведения (x, y) = B(x, y), поэтому он представляет собой не что иное, как
объединение ортонормированных базисов в собственных подпространствах
этого оператора. Поскольку от выбора этих базисов вид матрицы оператора
не изменится , то для построения базиса e можно рекомендовать следующий
способ . 
                   §3. Задача о паре квадратичных форм_________________



                     §3. Задача о паре квадратичных форм

   Задача построения общего канонического базиса для двух квадратичных
форм встречается в ряде вопросов физики, механики, дифференциальной
геометрии. Не всегда такой базис существует, поэтому важно установить
критерий его существования. Поставленная задача в двух частных случаях
имеет простое решение. Рассмотрим эти случаи.
     1. Первый случай.
   Теорема 9. Если A , B – две квадратичные формы в конечномерном
вещественном пространстве Е, и B – положительно определенная форма, то
существует общий канонический базис для этих квадратичных форм.
   Доказательство. Введем в пространстве Е скалярное произведение,
полагая (x, y) = B(x, y), где B(x, y) – симметричная билинейная форма,
порождающая        квадратичную      форму     B.    Тогда    существует
ортонормированный канонический базис для квадратичной формы A,
обозначим его e. Этот же базис будет каноническим и для билинейной
формы B(x, y), потому что матрица ее в этом базисе окажется единичной.
Следовательно, базис e – канонический для обеих квадратичных форм
 A и B.‚
   Проведенное доказательство оставляет в тени способ построения общего
канонического базиса в отмеченном случае. Найдем такой способ.
   Пусть f – базис, в котором заданы матрицы обеих квадратичных форм A и
B, а e – канонический базис, который фигурирует в доказательстве теоремы
с тем же обозначением. Отметим соотношения

                                  T                       T
                        Be = Pef Bf Pef и Ae = Pef Af Pef.


Поскольку Be – единичная матрица, то

          –1                 –1       –1
               T
  Ae = Be Pef Af Pef = Pef    Bf       (Pef T)–1      T
                                                    Pef Af Pef = Pef    (Bf –1 Af)Pef .
                                                                       –1



В силу полученного соотношения на матрицу Ae можно смотреть как на
диагональную матрицу оператора, который в базисе f имел матрицу,
           –1
 равную Bf    Af, а на базис e, как на базис из собственных векторов этого
оператора. Но базис e – ортонормированный относительно скалярного
произведения (x, y) = B(x, y), поэтому он представляет собой не что иное, как
объединение ортонормированных базисов в собственных подпространствах
этого оператора. Поскольку от выбора этих базисов вид матрицы оператора
не изменится, то для построения базиса e можно рекомендовать следующий
способ.

                                           – 23 –

Страницы