Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§3. Задача о паре квадратичных форм_________________
–24–
Правило 4 (построения общего канонического базиса квадратичных
форм A и B, когда B – положительно определенная.).
1. Рассмотреть оператор C
ˆ
: Е ® Е , определяемый матрицей C
ˆ
f
= B
f
–1
A
f
.
2. В каждом его собственном подпространстве выбрать произвольный
базис, ортогонализировать его относительно скалярного
произведения (x, y) = B(x, y), затем нормировать полученные векторы .
3. Объединить полученные системы векторов. Так будет построен
общий канонический базис данных квадратичных форм A и B.
Квадратичная форма A имеет в нем диагональную матрицу, в
которой каждый диагональный элемент является собственным
значением соответствующего базисного вектора как собственного
вектора оператора
C
ˆ
, а форма B имеет в нем единичную матрицу
2. Второй случай.
Пусть A , B – две квадратичные формы в конечномерном вещественном
пространстве Е , и B – невырожденная. Рассмотрим оператор C
ˆ
: Е ® Е ,
определяемый матрицей
C
ˆ
f
= B
f
–1
A
f
.
Лемма 3 (О сопровождающем операторе). Оператор C
ˆ
не зависит от
выбора базиса f .
Доказательство. Выбрав другой базис h , аналогичным построением
получим оператор
D
ˆ
: Е ® Е , такой что
D
ˆ
h
= B
h
–1
A
h
. Проведем вычисления :
D
ˆ
f =
P
hf
–1
D
ˆ
h
P
hf
= P
hf
–1
B
h
–1
( P
hf
T
)
–1
P
hf
T
A
h
P
hf
= B
f
–1
A
f
= C
ˆ
f.
."
Определение. Оператор C
ˆ
назовем сопровождающим для пары
квадратичных форм A и B.
Теорема 10. Если A , B – две квадратичные формы в конечномерном
вещественном пространстве Е , и B – невырожденная, то общий канонический
базис для этих квадратичных форм существует тогда и только тогда , когда
сопровождающий оператор этой пары квадратичных форм диагонализируем .
Доказательство. Если e – общий канонический базис форм , то их матрицы
в этом базисе A
e
и B
e
– диагональные, поэтому и матрица сопровождающего
оператора в этом базисе диагональна. Обратно, если сопровождающий
оператор диагонализируем , то его собственные подпространства образуют
прямую сумму, которая совпадает со всем пространством Е . Пусть R
( λ )
и R
( μ )
–
два из этих собственных подпространств. Покажем , что
1) для вектора y Î R
(μ)
и любого вектора xÎ Е справедливо равенство
B ( x , y) = μ А(x, y);
2) для векторов x Î R
(λ )
, yÎ R
(μ)
справедливы равенства
А(x, y) = 0 , B(x, y) = 0 
                    §3. Задача о паре квадратичных форм_________________

  Правило 4 (построения общего канонического базиса квадратичных
форм A и B, когда B – положительно определенная.).
                                                                      –1
   1. Рассмотреть оператор Ĉ : Е® Е, определяемый матрицей Ĉ f = B f Af.
   2. В каждом его собственном подпространстве выбрать произвольный
      базис,    ортогонализировать        его   относительно    скалярного
      произведения (x, y) = B(x, y), затем нормировать полученные векторы.
   3. Объединить полученные системы векторов. Так будет построен
      общий канонический базис данных квадратичных форм A и B.
      Квадратичная форма          A имеет в нем диагональную матрицу, в
      которой каждый диагональный элемент является собственным
      значением соответствующего базисного вектора как собственного
      вектора оператора Ĉ , а форма B имеет в нем единичную матрицу

    2. Второй случай.
   Пусть A , B – две квадратичные формы в конечномерном вещественном
пространстве Е, и B – невырожденная. Рассмотрим оператор Ĉ : Е® Е,
                                –1
определяемый матрицей Ĉ f = B f Af.
    Лемма 3 (О сопровождающем операторе). Оператор Ĉ не зависит от
выбора базиса f.

   Доказательство. Выбрав другой базис h, аналогичным построением
                                              –1
получим оператор D̂ : Е® Е, такой что D̂ h= Bh Ah. Проведем вычисления:
            –1                –1        –1
   D̂ f = Phf    D̂ h Phf = Phf    Bh    ( PhfT)–1 Phf T Ah      –1
                                                          Phf = Bf Af = Ĉ f. .‚
   Определение. Оператор       Ĉ            назовем сопровождающим для пары
квадратичных форм A и B.
   Теорема 10. Если A , B – две квадратичные формы в конечномерном
вещественном пространстве Е, и B – невырожденная, то общий канонический
базис для этих квадратичных форм существует тогда и только тогда, когда
сопровождающий оператор этой пары квадратичных форм диагонализируем.

   Доказательство. Если e – общий канонический базис форм, то их матрицы
в этом базисе Ae и Be – диагональные, поэтому и матрица сопровождающего
оператора в этом базисе диагональна. Обратно, если сопровождающий
оператор диагонализируем, то его собственные подпространства образуют
прямую сумму, которая совпадает со всем пространством Е. Пусть R (λ) и R(μ) –
два из этих собственных подпространств. Покажем, что
     1) для вектора yÎ R(μ) и любого вектора xÎ Е справедливо равенство
                                 B(x, y) = μ А(x, y);
                         (λ )    (μ)
     2) для векторов xÎ R , yÎ R справедливы равенства
                               А(x, y) = 0 , B(x, y) = 0




                                             –24–

Страницы