Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 26 стр.

                  §3. Задача о паре квадратичных форм_________________

множество будем называется нуль–подпространством квадратичной формы
А (x, x) .
   Если в пространстве F выбран базис, то подпространство N(A) в
координатах относительно этого базиса описывается однородной системой
линейных уравнений, матрицей которой является матрица формы A в данном
базисе.
   Определения. Нуль–подпространством пары квадратичных формы А и B
назовем множество N(A, B) , равное пересечению нуль–подпространств этих
форм. Размерность этого подпространства будем называть дефектом данной
пары и обозначать def (A, B).              Пару форм (A, B) будем называть
невырожденной, когда def (A, B) = 0, и вырожденной – в противном случае.
   Если пара форм (A, B) является вырожденной, то невырожденную пару
составят сужения этих форм на произвольное подпространство M,
дополнительное к N(A, B). В этом случае существование общего
канонического базиса для сужений равносильно существованию общего
канонического базиса для пары самих форм.
   Определение. Если пара форм (A, B) – невырожденная, то ее собственным
подпространством называется нуль–подпространство формы µ A – λ B,
       • если его размерность больше нуля и
       • (µ, λ ) ≠(0,0).
       В таком случае пару (µ, λ ) будем называть собственной парой чисел
       пары форм (A, B), а собственное подпространство обозначать L(µ, λ ).
   Лемма 4. Собственные подпространства невырожденной пары форм
(A, B) обладают следующими свойствами:
           1. Если собственные пары чисел (µ, λ) и (µ1, λ1) не
              пропорциональны,          то     соответствующие        собственные
              подпространства пересекаются лишь по нулевому вектору.
           2. Два собственных подпространства L(µ, λ )                и L(µ1, λ1)
              совпадают тогда и только тогда, когда пары (µ, λ) и (µ1 , λ1)
              пропорциональны.
           3. Два различных собственных подпространства L(µ, λ)                 и
              L(µ1, λ1 ) сопряжены относительно симметричных билинейных
              форм, порождающих квадратичные формы пары (A, B) ( то есть
              A(x, y) = B(x, y) = 0 при x∈ L(µ, λ ), y∈ L(µ1, λ1 ) ).
   Доказательство. Если x∈ L(µ, λ ), y∈ L(µ1, λ1 ) , то согласно определению
имеем
                                 µA(x, z) – λ B(x, z) = 0
                                 µA(y, z) – λ B(y, z) = 0                    (17)
при любых z∈F.
   Если x∈ L(µ, λ )ÈL(µ1, λ1 ) , то в силу (17) для каждого z∈F получаем
соотношения
                                 µA(x, z) – λ B(x, z) = 0
                                 µA(x, z) – λ B(x, z) = 0,

                                     –26–