Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§3. Задача о паре квадратичных форм_________________
–28–
Доказательство. Пусть
C
)
– сопровождающий оператор, е – базис в
пространстве F , (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) – координаты вектора x в этом базисе. Тогда
справедлива цепь эквивалентностей :
C
)
x = λ x1
1
=
⇔
=
⇔
=
−
n
e
n
e
nn
ee
nn
e
x
x
B
x
x
A
x
x
x
x
AB
x
x
x
x
C LLLLLL
)
1111
1
11
λλλ
1
1 x∈ L(1, λ)."
Теорема 11. Если характеристическое уравнение невырожденной пары
форм (А, В) имеет степень выше нулевой , то собственные подпространства
этой пары образуют прямую сумму.
Доказательство. Его проведем методом индукции по размерности
пространства F. Если dimF =1, то формы А, В имеют матрицы , состоящие из
одного элемента : (а), (в). Одна из них ненулевая в силу невырожденности
пары форм и потому соответствующая форма невырожденная .
Справедливость утверждения теоремы в этом случае следует из леммы 5.
Предположим , что утверждение теоремы справедливо для пространств
размерности < n. Рассмотрим невырожденную пару квадратичных форм
(А, В) в пространстве F размерности n. Если В – невырожденная форма, то
справедливость утверждение теоремы вытекает из леммы 5. Если В – нулевая
форма, то А – является невырожденной в силу невырожденности пары форм ,
и опять утверждение теоремы справедливо . Будем считать, что форма В –
невырожденная и ненулевая . Выберем базис e
1
, e
2
, …, e
k
в ее
нуль – подпространстве. Его можно выбрать так, что он будет являться
каноническим для сужения формы А на это подпространство , и в
последовательности канонических коэффициентов первыми будут идти все
ненулевые среди них : α
1
, α
2
, … , α
t
(0£ t £ k). Дополним векторы e
1
, e
2
, … , e
k
до базиса всего пространства векторами
e
k+1
, e
k+2
, … , e
n
. Матрицы форм
А , В в построенном базисе e можно записать в блочном виде:
,
0
0
0
,
T
=
=
K
B
G
D
D
C
A
ee
(19)
где матрица С имеет вид
=
K
K
0
1
t
C
α
α
,
а матрицы G и K имеют порядок , равный n–k, причем матрица
K– невырожденная . В матрице D столбцы , стоящие под элементами
a
1
, a
2
, … , a
t
матрицы С , могут быть сделаны нулевыми, если видоизменить
базис е , прибавляя к векторам
e
k+1
, e
k+2
, … , e
n
векторы e
1
, e
2
, … , e
t,
,
                 §3. Задача о паре квадратичных форм_________________
                                 
   Доказательство. Пусть C – сопровождающий оператор, е – базис в
пространстве F, (x1, x2 , . . . , xn ) – координаты вектора x в этом базисе. Тогда
                                             
справедлива цепь эквивалентностей: C x = λ x•
   �� x1 ��  � x1 �
               �      �
                            � x1 �
                             �      �
                                      � x1 �
                                       �      �
                                                � x1 �
                                                 �      �
                                                           � x1 �
                                                            � �
• Ce �  � =λ�  � ⇔ Be Ae �  � =λ�  � ⇔ Ae �  � =λ Be �  � •
                        −1

        x          x             x         x         x         x
      � n�       � n�          � n�      � n�      � n�      � n�
   • x∈ L(1, λ).‚
   Теорема 11. Если характеристическое уравнение невырожденной пары
форм (А, В) имеет степень выше нулевой, то собственные подпространства
этой пары образуют прямую сумму.
   Доказательство. Его проведем методом индукции по размерности
пространства F. Если dimF =1, то формы А, В имеют матрицы, состоящие из
одного элемента: (а), (в). Одна из них ненулевая в силу невырожденности
пары форм и потому соответствующая форма невырожденная.
Справедливость утверждения теоремы в этом случае следует из леммы 5.
   Предположим, что утверждение теоремы справедливо для пространств
размерности < n. Рассмотрим невырожденную пару квадратичных форм
(А, В) в пространстве F размерности n. Если В – невырожденная форма, то
справедливость утверждение теоремы вытекает из леммы 5. Если В – нулевая
форма, то А – является невырожденной в силу невырожденности пары форм,
и опять утверждение теоремы справедливо. Будем считать, что форма В –
невырожденная и ненулевая. Выберем базис e1, e 2, …, ek                   в     ее
нуль – подпространстве. Его можно выбрать так, что он будет являться
каноническим для сужения формы А                на это подпространство, и в
последовательности канонических коэффициентов первыми будут идти все
ненулевые среди них: α 1, α 2 , …, α t (0£ t £ k). Дополним векторы e 1, e2 , …, ek
до базиса всего пространства векторами ek+1, ek+2, … , en. Матрицы форм
А, В в построенном базисе e можно записать в блочном виде:
                     � C DT �                                      � 0 0�
               Ae =��         �,
                              �                              Be =��        �,
                                                                           �
                      � D G �                                       � 0 K�      (19)
где матрица С имеет вид
                                         � α1                  �
                                         �                    �
                                   �                           �
                               C =�                 αt         �
                                     �                   0      �
                                       �                     �� ,
                                         �
а матрицы G и K имеют порядок, равный n–k, причем матрица
K– невырожденная. В матрице D столбцы, стоящие под элементами
 a1 , a2, …, t матрицы С , могут быть сделаны нулевыми, если видоизменить
базис е , прибавляя к векторам ek+1, e k+2, …, e n векторы e1 , e 2 , …, e t,,

                                                –28–

Страницы