Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 27 стр.

                §3. Задача о паре квадратичных форм_________________

которые вследствие непропорциональности строк (µ, λ ) и (µ1, λ1 )дают
равенства A(x, z) = B(x, z) = 0 при всех z∈F. Это означает, что x∈ N(A, B), а
поскольку пара форм (A, B) – невырожденная, то получаем, что x = 0.
   Из доказанного свойства (1) следует, что собственные подпространства не
могут совпадать, если порождающие их пары чисел не пропорциональны.
Совпадение подпространств в случае пропорциональности пар очевидно.
   Наконец, если x∈ L(µ,λ), y∈ L(µ1, λ1 ) , то пологая z = y в первом
соотношении (17) и z = x во втором, получим равенства
                               µA(x, y) – λ B(x, y) = 0
                               µA(y, x) – λ B(y, x) = 0,
   из которых вследствие непропорциональности пар (µ, λ ) и (µ1 , λ1)
получаем, что A(x, y) = B(x, y) = 0. ‚
   Из доказанной леммы следует, что собственные пары чисел,
порождающие данное собственное подпространство, определяется не
однозначно, а с точностью до числового множителя, отличного от нуля.
Однозначность получим, если собственные пары чисел будем выбирать из
множества пар вида (1, λ) и (0, 1). Заметим, что (0, 1) будет собственной
парой чисел для невырожденной пары форм (A, B) тогда и только тогда,
когда B – вырожденная форма, при этом собственное подпространство
L(0, 1) = N(B ). Пара (1, λ) является собственной тогда и только тогда, когда
форма A – λ B вырожденная, то есть когда справедливо равенство

                            det(A – λ B) = 0 .                          (18)

   На это соотношение можно смотреть как на уравнение относительно λ,
определяющее собственные пары чисел вида (1, λ). Это уравнение
называется характеристическим уравнением пары форм (A, B), а множество
его корней – спектром этой пары.
   Может оказаться, что характеристическое уравнение имеет нулевую
степень. В этом случае оно либо не имеет корней, либо ему удовлетворяет
любое значение λ. В последнем случае пара форм обладает собственным
подпространством вида L(1, λ) при любом значении λ. Пример такой
ситуации дает пара форм с матрицами
                           � 1 0 0 0�      � 0 0 0 0�
                            � 0 0 1 0�      � 0 0 0 0�
                             � 0 1 0 0� и � 0 0 0 1� .
                              � 0 0 0 0�     � 0 0 1 0�
                               �         �    �         �
   Лемма 5. Если в невырожденной паре форм (A, B) форма B
невырожденная, то множество всех собственных подпространств этой пары
совпадает    с     множеством         всех       собственных подпространств
сопровождающего оператора этой пары.




                                   – 27 –