Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 29 стр.

                  §3. Задача о паре квадратичных форм_________________

предварительно умноженные на соответствующие числа. Можно добится
того, чтобы следующие столбцы матрицы D приняли вид первых столбцов
единичной матрицы соответствующего порядка. Действительно, (t+1)–ый
столбец матрицы D не может быть нулевым по причине невырожденности
пары (А , В). Если ненулевой элемент этого столбца расположен в i–ой
строке, то прибавляя вектор e i к вектору e k+1 , можно сделать первый
элемент этого столбца ненулевым, если до этого он был равен нулю. Как
получить под ним все элементы, равные нулю, очевидно. Соответственно
следует поступить со следующими столбцами матрицы D. Таким образом,
можно считать, что матрицы (19) имеют блочный вид:
                     � C1 0 0 0 �          � 0 0 0 0 �
                      � 0 0 E 0 �           � 0 0 0 0 �
                Ae =� 0 E D D � , Be = � 0 0 K K � ,
                       �         1
                                 T
                                     2
                                         �   � 0 0 KT K �
                                                    1  2

                         � 0 0 D 2 D 4 �      �     2  4�

в котором С1 – диагональная матрица порядка t c элементами a1, a2, …, at
на диагонали, Е – единичные матрицы порядка ( k – t). Эти последние
позволяют сделать нулевыми блоки                              D1 , D2 и D2T посредством
соответствующих элементарных преобразований базиса. Отличие этих
преобразований от проводимых ранее состоит в том, что для обращения в
нуль диагонального элемента матрицы D1, например d11 следует к вектору
еk+1 прибавить вектор еt+1 , предварительно умноженный не на (– d11), а на
половину этого числа. Итак, блоки D1 , D2 и D2T можно считать нулевыми, то
есть
                  � C1 0 0 0 �                     � 0 0 0 0 �
                   � 0 0 E 0 �                      � 0 0 0 0 �
            Ae =�                    � , Be = � 0 0 K K � .
                       0 E 0 0
                    � 0 0 0 D �                      � 0 0 KT K �
                                                               1        2

                     �           4 �                  �        2        4�

   Для поиска собственных подпространств вида L(1, l) пары (А, В) следует
решать нетривиально совместные однородные линейные системы с
матрицами вида
                                       � C1 0 0               0 �
                                        � 0 0 E                     �
                         Ae −λBe = � 0 E −λK −λ0K � .
                                         �                1      2
                                                                      �
                                           � 0 0 −λ     K T
                                                          2
                                                            −λ K 4�
                                                                                   (20)
   Очевидно, что
                        det (Ae – Be ) = 1 2 …                    t det(D4 – K4 ). (21)
   Матрицы D4 и K4 – это матрицы сужений форм A и B на подпространство,
натянутое на последние векторы базиса е, взятые в соответствующем
количестве. Эти сужения форм не могут образовывать вырожденную пару,
так как тогда бы det(D4 – lK4) = 0 при всех значениях l, откуда в силу
соотношения (21) следовало бы, что характеристическое уравнение пары
(A , B) имеет нулевую степень, что невозможно по условию теоремы.
Следовательно, к этим сужениям можно применить предположение

                                        – 29 –