Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§3. Задача о паре квадратичных форм_________________
– 31 –
z = y
1
+ y
2
+ … + y
s
, y
i
Î L
i
.
У всех векторов, участвующих в этом соотношении, координаты с
номерами t+1, … , k заменим на нулевые. Получим векторы
s
yy
~
...,,
~
,y
~
,z
~
21
,
для которых выполняется аналогичное равенство
s
yy
~
...
~
y
~
z
~
21
+
+
+
=
. (25)
Но
0
~
=
z
, а векторы
s
yy
~
...,,
~
,y
~
21
принадлежат попарно различным
собственным подпространствам пары (A
М
, B
М
) , поэтому делаем вывод о том ,
что
0
~
...
~
y
~
21
=
=
=
=
s
yy
. Тогда в силу (22) заключаем , что y
1
= y
2
= … = y
s
=
0, откуда следует, что z = 0. Таким образом, соотношение (24) доказано, а с
этим закончено доказательства шага индукции при dimF = n, и следовательно
самой теоремы . "
Теорема 12. Невырожденная пара квадратичных форм (A, B) в
конечномерном пространстве F имеет общий канонический базис тогда и
только тогда , когда сумма размерностей всех ее собственных подпространств
равна размерности пространства F.
Доказательство. Необходимость. Пусть e
1
, e
2
, …, e
n
– общий
канонический базис данной пары квадратичных форм (A, B), a
1
, a
2
, … , a
n
и
b
1
, b
2
, … , b
n
– канонические коэффициенты форм A и B в этом базисе.
Порядок базисных векторов можно считать таким , что во второй из этих
последовательностей сначала идут все нулевые коэффициенты из нее::
b
1
= b
2
= … = b
k
= 0 ( 0 £ k£ n ). Тогда в силу невырожденности пары ( A , B)
все коэффициенты первой последовательности с теми же номерами отличны
от нуля . Собственное подпространство L (0, 1) у этой пары существует тогда
и только тогда , когда k >0, причем его размерность в этом случае равна k.
Остальные собственные подпространства имеют вид L (1, l), где l – корень
характеристического уравнения пары , которое в таком случае имеет вид :
a
1
, a
2
, … , a
k
, (a
k-1
– lb
k-1
) , … , (a
n
– lb
n
) = 0.
Исключая тривиальный случай k = n заметим , что степень этого
уравнения выше нулевой , и потому собственные подпространства пары
(A, B) в силу теоремы 11 образуют прямую сумму. Размерность каждого
собственного подпространства L (1, l) совпадает с кратностью l как корня
характеристического уравнения , так как матрица формы A–lE диагональна.
Следовательно сумма размерностей собственных подпространств вида
L (1, l) равна числу (n – k), а учитывая размерность cобственного
подпространства L (0, 1), равную k, получаем , что сумма размерностей всех
собственных подпространств равна n , то есть размерности всего
пространства F.
Достаточность. В каждом cобственном подпространстве пары (A, B) выберем
базис, причем в собственном подпространстве L (0, 1) пусть он будет
каноническим для сужения формы A на это подпространство . Если условие
теоремы выполнено, то объединение этих систем будет базисом всего
пространства F. Действительно, в таком случае степень характеристического 
                 §3. Задача о паре квадратичных форм_________________

                         z = y1 + y 2 + … + y s , y iÎ Li.
   У всех векторов, участвующих в этом соотношении, координаты с
номерами t+1, …, k заменим на нулевые. Получим векторы ~   z, ~y1 , ~
                                                                    y2 , ..., ~ys ,
для которых выполняется аналогичное равенство
                           ~z =~y +~y +... +~   ys .                       (25)
                                 1       2

Но ~ z =0 , а векторы ~  y,~  y , ..., ~
                              1   2
                                       y принадлежат попарно различным
                                         s
собственным подпространствам пары (A М , BМ) , поэтому делаем вывод о том,
что ~ y1 =~y2 =... =~ ys =0 . Тогда в силу (22) заключаем, что y1 = y 2 = … = y s =
0, откуда следует, что z = 0. Таким образом, соотношение (24) доказано, а с
этим закончено доказательства шага индукции при dimF = n, и следовательно
самой теоремы. ‚
      Теорема 12. Невырожденная пара квадратичных форм (A, B) в
конечномерном пространстве F имеет общий канонический базис тогда и
только тогда, когда сумма размерностей всех ее собственных подпространств
равна размерности пространства F.
      Доказательство. Необходимость. Пусть e1, e2 , …, en – общий
канонический базис данной пары квадратичных форм (A, B), a1, a2 , …, an и
b1, b2, …, bn – канонические коэффициенты форм A и B в этом базисе.
Порядок базисных векторов можно считать таким, что во второй из этих
последовательностей сначала идут все нулевые коэффициенты из нее::
 b1 = b2 = …= bk = 0 ( 0 £ k£ n ). Тогда в силу невырожденности пары (A, B)
все коэффициенты первой последовательности с теми же номерами отличны
от нуля. Собственное подпространство L (0, 1) у этой пары существует тогда
и только тогда, когда k >0, причем его размерность в этом случае равна k.
Остальные собственные подпространства имеют вид L (1, ), где – корень
характеристического уравнения пары, которое в таком случае имеет вид:
                  1 € a2 € …€ ak € (ak-1 – lbk-1)  … (an – lbn) = 0.
      Исключая тривиальный случай k = n заметим, что степень этого
уравнения выше нулевой, и потому             собственные подпространства пары
 (A, B) в силу теоремы 11 образуют прямую сумму. Размерность каждого
собственного подпространства L (1, l) совпадает с кратностью l как корня
характеристического уравнения, так как матрица формы A–lE диагональна.
Следовательно сумма размерностей собственных подпространств вида
 L (1, l) равна числу (n – k), а учитывая размерность cобственного
подпространства L (0, 1), равную k, получаем, что сумма размерностей всех
собственных подпространств равна n , то есть размерности всего
пространства F.
Достаточность. В каждом cобственном подпространстве пары (A, B) выберем
базис, причем в собственном подпространстве L (0, 1) пусть он будет
каноническим для сужения формы A на это подпространство. Если условие
теоремы выполнено, то объединение этих систем будет базисом всего
пространства F. Действительно, в таком случае степень характеристического

                                      – 31 –

Страницы