Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§3. Задача о паре квадратичных форм_________________
–32–
уравнения будет выше нулевой , и согласно теореме 11 собственные
подпространства составят прямую сумму. Построенный базис будет общим
каноническим базисом данной пары квадратичных форм (A, B) в силу
построения и леммы 4. "
Следствие 1. Невырожденная пара форм (A, B) имеет общий
канонический базис тогда и только тогда, когда
• спектр L этой пары конечен ,
•
(
)
∑
Λ∈
=
−
λ
λ
BrankBAdef )(
. 4 (26)
Следствие 2. Пара форм (A, B) имеет общий канонический базис тогда
и только тогда, когда
• множество L значений l таких , что def(A –lB)> def(A ,B) конечно,
•
(
)
∑
Λ∈
=
−
−
λ
λ
B
rank
B
A
B
A
)),()((
. 4 (27)
4. Правило построения общего канонического базиса пары
квадратичных форм в общем случае
Пусть A и B – квадратичные формы в пространстве размерности n ,
имеющие общий канонический базис, ранг B равен r , 0 < r £ n,
а матрицы A
e
, B
e
– матрицы квадратичных форм в некотором базисе e.
Правило 6 (построения общего канонического базиса пары
квадратичных форм A и B, общий случай).
1. Составим блочную матрицу
(B
e
|| A
e
||E). (28)
где E – единичная матрица.
Определение. Биэлементарным преобразованием матрицы такого вида
будем называть прибавление к некоторой ее строке другой строки,
предварительно умноженной на некоторое число, с последуюшим
дублированием этой операции над столбцами матриц, стояших в первых двух
блоках .
2. Биэлементарными преобразованиями приведем матрицу (28) к такому
виду, чтобы в первом блоке стояла диагональная матрица , в которой
первые r элементов были ненулевыми, а следующие нулевыми.
3. Биэлементарными преобразованиями, не изменяющими первые r
строк полученной матрицы , приведем ее к такому виду, чтобы во
втором блоке элементы , стояшие на последних n – r строках и
столбцах , составляли диагональную матрицу.
4. Все элементы , стоящие над ненулевыми диагональными элементами
второго блока, обратим в нулевые, используя биэлементарные
преобразования, при которых последние n – r строк прибавляются к
предшествующим. В результате получим блочную матрицу вида 
               §3. Задача о паре квадратичных форм_________________

уравнения будет выше нулевой, и согласно теореме 11 собственные
подпространства составят прямую сумму. Построенный базис будет общим
каноническим базисом данной пары квадратичных форм (A, B) в силу
построения и леммы 4.
    Следствие 1. Невырожденная пара           форм (A, B) имеет общий
    канонический базис тогда и только тогда, когда
       • спектр L этой пары конечен ,
       • ∑ def ( A −λB ) =rank (B ).ƒ                             (26)
         λ∈Λ

    Следствие 2. Пара форм (A, B) имеет общий канонический базис тогда
    и только тогда, когда
       • множество L значений таких, что def(A –lB)> def(A ,B) конечно,
       • ∑ (def ( A −λB ) −def ( A, B )) =rank (B ).ƒ              (27)
         λ∈Λ



   4. Правило построения общего канонического базиса пары
квадратичных форм в общем случае
   Пусть A и B – квадратичные формы в пространстве размерности n,
имеющие общий канонический базис, ранг B равен r, 0 < r £ n,
а матрицы Ae, Be – матрицы квадратичных форм в некотором базисе e.
   Правило 6 (построения общего канонического базиса пары
квадратичных форм A и B, общий случай).
   1. Составим блочную матрицу
                               (Be || Ae ||E).                     (28)
где E – единичная матрица.
   Определение. Биэлементарным преобразованием матрицы такого вида
будем называть прибавление к некоторой ее строке другой строки,
предварительно умноженной на некоторое число, с последуюшим
дублированием этой операции над столбцами матриц, стояших в первых двух
блоках.
   2. Биэлементарными преобразованиями приведем матрицу (28) к такому
      виду, чтобы в первом блоке стояла диагональная матрица, в которой
      первые r элементов были ненулевыми, а следующие нулевыми.
   3. Биэлементарными преобразованиями, не изменяющими первые r
      строк полученной матрицы, приведем ее к такому виду, чтобы во
      втором блоке элементы, стояшие на последних n – r строках и
      столбцах, составляли диагональную матрицу.
   4. Все элементы, стоящие над ненулевыми диагональными элементами
      второго блока, обратим в нулевые, используя биэлементарные
      преобразования, при которых последние n – r строк прибавляются к
      предшествующим. В результате получим блочную матрицу вида




                                 –32–

Страницы