Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 33 стр.

                    §3. Задача о паре квадратичных форм_________________


                           � K                 0           G 0                          ~ ��
                            �                                                           E
                              � 0              0           0 C                                   �               ,
                               �                                                                 �
     где
                            � γ1                            �                    � α1                             �
                            �       γ2                      �                    �      α2                        �
                            �                               �              �                                      � ,
                      K =�                                 �,         C =�                                      �
                            �                              �                �                                   �
                            �                          γr ��                   �                         α n −r ��
                            �                                                    �
       g1, 2,…, gr – ненулевые элементы.
    5. Считая, что K и G – матрицы квадратичных форм в некотором базисе
        f 1, f 2, …, f r , построим общий канонический базис g 1, g 2,…, g r этих
       форм по правилу 5 и соответствующие канонические матрицы этих
       форм.
                                                                                                                      ~
   6. Считая, что f1, f 2 ,…, f r – это первые строки матрицы E , поставим на
       место этих строк векторы g1, g 2,…, g r , а на место матриц K и G –
       соответствующие им канонические матрицы.
   7. Полученная в результате блочная матрица предоставляет общий
       канонический базис данных квадратичных форм : в строках третьего
       блока записаны координаты в базисе e векторов канонического
       базиса. Соответствующие ему канонические матрицы форм B и A
       стоят, соответственно, в первом и втором блоках этой матрицы.
  Пример. Построить общий канонический базис для двух квадратичных
форм заданных в некотором базисе e матрицами

                                � 1 2 3�                        � 1 1 1�
                      Ae   =�       2 4 6�     ,   Be = � 1 1 1� .
                                 � 3 6 0�                       � 1 1 1�
                                  �        �                     �       �
    1. Cоставим блочную матрицу
                                  111�                  1 2 3                 1 0 0 ��
                (Be| Ae | E) = � 1 1 1                  2 4 6                 0 1 0� .
                                �    �    111           3 6 0                 0 0 1�
                                     �                                                 �
    2. Биэлементарными преобразованиями этой                                                             блочной          матрицы
       приведем первый блок к диагональному виду:

       �    1 1 1   1 2 3           1 0 0 ��     �               1 0 0               1 1 2           1 0 0 ��
       �                                           �
       ��   0 0 0   1 2 3           −1 1 0 � → �                 0 0 0               1 1 2           −1 1 0 � .
            0 0 0   2 4 −3          −1 0 1 �         �           0 0 0               2 2 −5          −1 0 1 �
       �                                     �         �                                                      �

    3. Биэлементарными преобразованиями полученной матрицы добьемся
       того, что во втором блоке левый нижний минор порядка 2 стал бы
       диагональным. Для этого вторую строку прибавим ко второй,

                                                        – 33 –