Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 30 стр.

                   §3. Задача о паре квадратичных форм_________________

индукции и получить, что их собственные подпространства образуют
прямую сумму. Но по этим собственным подпространствам можно построить
собственные подпространства пары (A , B).
   Действительно, в силу (21) собственные пары чисел вида (1, ) и для
пары (A , B) и для пары сужений будут одни и те же. Анализируя матрицу
(20) можно сделать вывод о том, что собственное подпространство пары (A ,
B). вида L(1, l) состоит из всех векторов (x1 , x2, …, xn ), координаты которых в
базисе е, обладают свойствами:
                            � xt +1 �   � xk +t +1 �
                             �  � =λK �  � ,
   x 1 = x 2 = …= xt = 0, �              � x � xk+1 = xk+2 = …= x k+ t = 0,
                                xk ��
                                      2                                         (22)
                              �           � n �
между тем как значения последних неизвестных xk+t+1 , …, x n составляют
решение однородной линейной системы с матрицей D 4 – l K4 . Следовательно,
каждое собственное подпространство L(1, l) пары (A , B) получается из
собственного подпространства той же пары чисел для сужений этих форм на
подпространство M посредством замены нулевых значений координат с
номерами t+1, …, k согласно формулам (22). Поскольку собственные
подпространства сужений образуют прямую сумму, то и построенные таким
образом собственные подпространства вида L(1, l) пары (A , B) также
образуют прямую сумму.
     Действительно, пусть L 1, L2,…, Ls – все попарно различные собственные
подпространства вида L(1, l) пары (A , B), а l1, l2 ,…, ls – соответствующие
им значения величины l. Рассмотрим векторы y1 , y 2 ,…, y s , каждый из
соответствующего подпространства, для которых
                                    y 1 + y 2 + … + y s = 0.
     Заменяя у таких векторов координаты в базисе е с номерами t+1, …, k
на нулевые, получим векторы ~             y1 , ~
                                               y 2 , ..., ~
                                                          y s , принадлежащие попарно
различным собственным подпространствам пары (A М , BМ) сужений форм
A , B на подпространство М, и для этих векторов будет выполняться
аналогичное соотношение:
                                ~
                                y1 +~  y2 +... +~ys =0 .                          (23)
     Но     в    силу     предположения             индукции        из   (23) следует,
     ~     ~       ~
что y1 =y2 =... =y s =0 , а потому в силу (22) имеем y 1 = y 2 = … = y s = 0.
Итак, собственные подпространства L1 , L2,…, Ls образуют прямую сумму.
     Этими подпространствами не исчерпывается множество всех
собственных подпространств пары (A , B). Кроме них есть еще одно –
 L(0, 1) = N (B). Покажем, что пересечение
                      Т = N (B) È (L1+ L2 +…+ Ls ) = {0} .                       (24)
     Пусть zÎ Т и (z 1, z2 , …, zn ) – набор координат этого вектора в базисе е. В
силу (22) и того, что z Т, имеем
                          z1 = z2= …= zt = 0 , zk+1= …= zn = 0.
    Представим z в виде

                                        –30–