Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§3. Задача о паре квадратичных форм_________________
– 25 –
Действительно, для произвольных векторов x, yÎ Е по их координатам (x
1
,
x
2
, … , x
n
) и (у
1
, y
2
, … , y
n
) в некотором базисе f значения билинейных форм
определяются посредством формул
А(x , y) =(x
1
, x
2
, … , x
n
) A
f
n
y
y
y
K
2
1
,
B(x, y) =(x
1
, x
2
, … , x
n
) B
f
n
y
y
y
K
2
1
.
(16)
Если yÎ R
(μ)
, то B
f
–1
A
f
n
y
y
y
K
2
1
=
μ
n
y
y
y
K
2
1
,
поэтому A
f
n
y
y
y
K
2
1
=
μ B
f
n
y
y
y
K
2
1
.
Тогда в силу (16) первое из приведенных утверждений справедливо . В
силу этого свойства получим , что если x Î R
(λ )
, yÎ R
(μ)
, то
B(x, y) = μ А (x, y) и B(y, x) = λ А(y, x) .
Из этих соотношений в силу симметричности билинейных форм А и B
получаем , что А ( x , y) = B(x, y) = 0.
В каждом собственном подпространстве сопровождаюшего оператора
построим канонический базис для сужения на это подпространство формы
B(x, y) . Объединяя построенные базисы получим систему векторов, которая
является базисом пространства Е в силу диагонализируемости
сопровождающего оператора, а этот базис будет общим каноническим
базисом для форм А и B в силу свойств 1) и 2). "
Правило 5 (построения общего канонического базиса квадратичных
форм A и B, когда B – невырожденная).
1. Рассмотреть сопровождающий оператор
C
ˆ
: Е ® Е данной пары
квадратичных форм с матрицей C
ˆ
f
= B
f
–1
A
f
.
2. В каждом собственном подпространстве этого оператора построить
произвольный базис. Получить из него канонический базис для сужения
формы B на это подпространство , для чего можно использовать формулы
метода ортогонализации Грама – Шмидта, заменяя в них скалярное
произведение векторов x и y значениями билинейной формы B(x, y).
3. Объединить полученные базисы собственных подпространств.
Построенная система – общий канонический форм A и B.
4. Определить канонические коэффициенты формы B в этом базисе.
При умножении каждого из них на собственное значение соответствующего
базисного вектора будут получены канонические коэффициенты формы A .
3. Общий случай.
Определение. Нуль–подпространством симметричной билинейной формы
А (x, y), заданной в пространстве F, назовем множество N ( A ), состоящее из
всех векторов x таких , что А (x, y) = 0 для всех векторов yÎ F. Это же 
                   §3. Задача о паре квадратичных форм_________________

    Действительно, для произвольных векторов x, yÎ Е по их координатам (x1 ,
x2, …, x n) и (у1, y2 , …, yn) в некотором базисе f значения билинейных форм
определяются посредством формул

                                   � y1 �                                                        � y1 �
                                    �        �                                                    �        �
   А(x, y) =(x1, x 2, …, x n) Af      � y2 �                                                        � y2 �
                                   � �                    , B(x, y) =(x1, x 2, …, xn) Bf �           .                      (16)
                                                                                                �
                                   �           �                                            �       �
                                   � y �                                                      � y �
                                    � n�                                                       � n�

                                           � y1 �                � y1 �                      � y1 �            � y1 �
                                            �        �            �        �                  �        �        �        �
                            –1                � y2 �                � y2 �                      � y2 �            � y2 �
    Если yÎ R(μ) , то Bf           Af � � = μ � � ,                             поэтому Af � � = μ Bf          � � .
                                                                                              
                                       �       � �       �                                  �       �           �       �
                                         � y �     � y �                                      � y �               � y �
                                           �       n   �         �      n   �                �      n   �          � n�
   Тогда в силу (16) первое из приведенных утверждений справедливо. В
силу этого свойства получим, что если xÎ R (λ ), yÎ R(μ), то
                     B(x, y) = μ А (x, y) и B(y, x) = λ А(y, x) .
    Из этих соотношений в силу симметричности билинейных форм А и B
получаем, что А(x, y) = B(x, y) = 0.
    В каждом собственном подпространстве сопровождаюшего оператора
построим канонический базис для сужения на это подпространство формы
B(x, y) . Объединяя построенные базисы получим систему векторов, которая
является базисом пространства Е в силу диагонализируемости
сопровождающего оператора, а этот базис будет общим каноническим
базисом для форм А и B в силу свойств 1) и 2). ‚
   Правило 5 (построения общего канонического базиса квадратичных
форм A и B, когда B – невырожденная).
     1. Рассмотреть сопровождающий оператор Ĉ : Е® Е данной пары
                                          –1
квадратичных форм с матрицей Ĉ f = Bf Af .
     2. В каждом собственном подпространстве этого оператора построить
произвольный базис. Получить из него канонический базис для сужения
формы B на это подпространство, для чего можно использовать формулы
метода ортогонализации Грама – Шмидта, заменяя в них скалярное
произведение векторов x и y значениями билинейной формы B(x, y).
     3. Объединить полученные базисы собственных подпространств.
Построенная система – общий канонический форм A и B.
     4. Определить канонические коэффициенты формы B в этом базисе.
При умножении каждого из них на собственное значение соответствующего
базисного вектора будут получены канонические коэффициенты формы A .

   3. Общий случай.
   Определение. Нуль–подпространством симметричной билинейной формы
А (x, y), заданной в пространстве F, назовем множество N(A), состоящее из
всех векторов x таких, что А (x, y) = 0 для всех векторов yÎ F. Это же
                                                              – 25 –

Страницы