Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 22 стр.

UptoLike

Составители: 

§2. Канонический базис симметричной билинейной формы________
22
Якоби. Выполнив первую процедуру, получим, что элемент b
22
> 0 по той же
причине, а из этого следует, что D
2
= а
11
, b
22
> 0 и так далее. "
Теорема 8 (об индексе инерции). Число положительных и число
отрицательных канонических коэффициентов симметричной билинейной
формы , заданной в вещественном пространстве, не зависят от выбора
канонического базиса.
Доказательство. Пусть A ( x , y) симметричная билинейная форма,
заданная в конечномерном вещественном пространстве Е , а
е
1
, е
2
, , е
k
, е
n
и f
1
, f
2
, , f
s
, f
n
ее канонические базисы . Рассмотрим соответствующие канонические
коэффициенты
l
1
, l
2
, , l
k
, , l
n
и m
1
, m
2
, , m
s
, , m
n .
Будем считать, что порядок базисных векторов выбран так, что в этих
последовательностях сначала идут все положительные:
l
1
, l
2
, , l
k
и
m
1
, m
2
, , m
s
,
а потом все отрицательные и нулевые.
Покажем , что k = s. Для этого рассмотрим два подпространства K и S:
K = L(е
1
, е
2
, , е
k
) и S = L(f
1
, f
2
, , f
s
). Эти подпространства пересекаются
лишь по нулевому вектору. Действительно, если x Î K È S, то записав
координаты этого вектора в том и другом базисе:
x = (x
1
, x
2
, , x
k
, 0, , 0)
е
и x = (0, 0, , y
s+1
, , y
n
)
f
.
Устанавливаем , что
A(x, x) = l
1
x
1
+l
2
x
2
+ + l
k
x
k
³ 0 и A(x, x) =
m
s+1
y
s+1
+ + m
n
y
n
£0.
Отсюда следует, что A(x, x)=0, x
1
= x
2
= =
x
k
= 0 и потому x = 0. Таким
образом , подпространства K и S образуют прямую сумму. Ее размерность
равна сумме размерностей этих подпространств и не превосходит
размерности всего пространства, следовательно k + (ns) £ n, то есть k £ s .
Подобными рассуждениями, поменяв местами базисы , получим неравенство
s £ k. Итак, k = s.
Аналогично можно показать, что число отрицательных канонических
коэффициентов в том и другом базисе одно и то же.
Определение. Число положительных и число отрицательных
канонических коэффициентов симметричной билинейной формы
называются соответственно положительным и отрицательным индексом
инерции этой формы .
.
      §2. Канонический базис симметричной билинейной формы________

Якоби. Выполнив первую процедуру, получим, что элемент b 22 > 0 по той же
причине, а из этого следует, что D2 = а11€ b22> 0 и так далее. ‚
   Теорема 8 (об индексе инерции). Число положительных и число
отрицательных канонических коэффициентов симметричной билинейной
формы, заданной в вещественном пространстве, не зависят от выбора
канонического базиса.
   Доказательство. Пусть A(x, y) – симметричная билинейная форма,
заданная        в      конечномерном          вещественном            пространстве     Е, а
                  е1, е 2, …, еk , … еn и f1 , f 2, …, f s , … f n –
   ее канонические базисы. Рассмотрим соответствующие канонические
коэффициенты
                l1, l2 , …, lk ,…, ln            и              m1, m2, …, ms ,…, mn .
   Будем считать, что порядок базисных векторов выбран так, что в этих
последовательностях сначала идут все положительные:
                            l1, l2 , …, lk          и        m1 , m2, …, ms,
а потом все отрицательные и нулевые.
    Покажем, что k = s. Для этого рассмотрим два подпространства K и S:
K = L(е1 , е2, …, еk ) и S = L(f1 , f 2 , …, f s ). Эти подпространства пересекаются
лишь по нулевому вектору. Действительно, если xÎ K È S, то записав
координаты этого вектора в том и другом базисе:
   x = (x 1 , x 2, …, x k , 0, …, 0) е и x = (0, 0, …, y s+1, …, yn) f.
Устанавливаем, что
   A(x, x) = l1 x 1+l2 x 2 +…+ lk x k ³ 0 и A(x, x) = ms+1 y s+1+ … + mn y n£0.

Отсюда следует, что A(x, x)=0, x 1 = x 2=…= x k = 0 и потому x = 0. Таким
образом, подпространства K и S образуют прямую сумму. Ее размерность
равна сумме размерностей этих подпространств и не превосходит
размерности всего пространства, следовательно k + (n–s) £ n, то есть k£ s.
Подобными рассуждениями, поменяв местами базисы, получим неравенство
s £ k. Итак, k = s.

   Аналогично можно показать, что число отрицательных канонических
коэффициентов в том и другом базисе одно и то же.

   Определение. Число положительных и число отрицательных
канонических коэффициентов      симметричной билинейной формы
называются соответственно положительным и отрицательным индексом
инерции этой формы.

.




                                          –22–