Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 20 стр.

       §2. Канонический базис симметричной билинейной формы________

       Поступаем согласно правилу:
         � 1 2 −1 1 0 0 �    � 1 2 −1 1 0 0 �    � 1 0 0    1 0 0�
       � 2 3 4 0 1 0 � → � 0 −1 6 −2 1 0 � → � 0 −1 0 −2 1 0 � .
        � −1 4 0 0 0 1 �    � 0 0 35 −11 6 1 �    � 0 0 35 −11 6 1 �
          �               �   �                �   �                 �
      Построен канонический базис из векторов
      f1= (1, 0, 0)е, f2= (-2, 1, 0)е, f3= (-11, 6, 1)е.
      Соответствующие ему канонические коэффициенты: 1, –1 и 35.

    2. Основные теоремы о билинейных формах
    Теорема 5 (Якоби). Если в матрице симметричной билинейной формы в
базисе из векторов е1, е2, …, е k , … еn

                                             � a11        a12       a1n �
                                              � a         a 22      a2n �
                                               � 21                         �
                                                �                 �
                                                 � a n1   a n2      a nn �

все левые верхние угловые миноры кроме последнего

                                                                      � a11  a1,n −1 �
                                      � a11 a12 �                      �                               �
                      ∆1 =a11 , ∆ 2 =�               � ,  , ∆ n −1 =�    �
                                       � a 21 a 22 �                     � a n −1 , 1  a n −1, n −1 �
                                                                          �                              �
отличны от нуля, то существует канонический базис этой формы
f 1, f 2, …, f k , …, f n такой, что

   1. L(е1, е 2, …, еk ) = L(f1 , f 2 , …, f k) при k = 1, …, n.
   2. Соответствующие канонические коэффициенты l1 , l2, …, lk ,…, ln
      могут быть вычислены по формулам
                                                  ∆           ∆         ∆
                    λ1 =∆ 1 , λ 2 = 2 ,  , λ k = k ,  , λ n = n .
                                                  ∆1         ∆ k −1     ∆ n −1
   Доказательство. Поскольку в матрице билинейной формы элемент а 11
отличен от нуля, то элементарными преобразованиями строк можно сделать
все элементы, расположенные под ним нулевыми. Эти преобразования
можно выполнить, прибавляя первую строку ко всем другим с
предварительным умножением на соответствующие числа. Выполнив
аналогичные преобразования в системе столбцов полученной матрицы, мы
будем иметь симметричную матрицу вида:
                                        � a11 0 0  0 �
                                          � 0 b b  0 �
                                           �          22  23
                                                                    �
                                                          33  0 �
                                             �     0 b32 b            .
                                               ��      ��
                                         � 0 bn 2 b n 3  bnn �

                                                      –20–