Отдельные вопросы линейной алгебры. Адамова Р.С. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§2. Канонический базис симметричной билинейной формы________
–18–
умножением на числа 3, 6, 7 соответственно. Выполняя надлежащие
преобразования, будем иметь
()
1,7,6,3
1763
0100
0010
0001
0000
81085
78149
4575
→
−−
.
Таким образом, вектор g
4
= (3, 6, 7, 1)
е
образует базис в корневом
подпространстве, отвечающем собственному значению l = 1. Матрицей
этого сужения в таком базисе будет матрица из одного числа: (1).
Построенные векторы
g
1
= (–1, –1, – 1, 0)
е
, g
2
= (2, 1, 0, 0)
е
, g
3
= (–1, 0, 0, 1 )
е
, g
4
= (3, 6, 7, 1)
е
образуют жорданов базис для данного оператора А и его матрица в этом
базисе будет иметь вид
А
е
=
1
2
20
12
,
в котором все не выписанные элементы являются нулевыми.
§2. Канонический базис симметричной билинейной формы
1. Правило построения канонического базиса.
Определение. Элементарными преобразованиями базиса
e
1
, e
2
, … , e
i
, … , e
k
, … ,
e
n
назовем преобразования следующих видов.
1. Умножение некоторого вектора e
i
на ненулевое число.
2. Перемена местами двух векторов e
i
и e
k
.
3. Замена вектора e
i
на вектор e
i
+λ e
k
.
Лемма 2 ( Об элементарных преобразованиях базиса). При каждом
элементарном преобразовании базиса матрица билинейной формы
претерпевает преобразсвание, состоящее в аналогичном действии над
системой ее строк с последующим таким же действием над системой
столбцов полученной матрицы .
Доказательство. Высказанное утверждение – очевидное следствие
определения матрицы квадратичной формы . " 
     §2. Канонический базис симметричной билинейной формы________

   умножением на числа 3, 6, 7 соответственно. Выполняя надлежащие
преобразования, будем иметь
                            � 5           7 5    4    1   0   0   0   �
                             � −9        −14 8                        �
                                                                      � → (3, 6, 7,1 ).
                                                 7    0   1   0   0
                              � 5         8 10   8    0   0   1   0
                               � 0        0 0    0    3   6   7   1   �
                                �                                     �

   Таким образом, вектор g4 = (3, 6, 7, 1)е образует базис в корневом
подпространстве, отвечающем собственному значению l = 1. Матрицей
этого сужения в таком базисе будет матрица из одного числа: (1).
  Построенные векторы
  g 1 = (–1, –1, – 1, 0) е, g2 = (2, 1, 0, 0) е, g3 = (–1, 0, 0, 1 ) е, g4 = (3, 6, 7, 1) е
образуют жорданов базис для данного оператора А и его матрица в этом
базисе будет иметь вид
                                     � 2 1                                       �
                                      �                                          �
                                        � 0 2                                    �
                                     �                    2                      �
                                     �                                           �
                          Ае = �                                                 �   ,
                                     �                                           �
                                     �                                     1     �
                                     �                                           �
                                     �                                           �
                                     �                                           �
         в котором все не выписанные элементы являются нулевыми.


         §2. Канонический базис симметричной билинейной формы


    1. Правило построения канонического базиса.
   Определение. Элементарными преобразованиями базиса
                            e1 , e2 , …, ei, …, ek, …, en
   назовем преобразования следующих видов.
    1. Умножение некоторого вектора ei на ненулевое число.
    2. Перемена местами двух векторов ei и e k.
    3. Замена вектора ei на вектор ei+λ e k.
   Лемма 2 ( Об элементарных преобразованиях базиса). При каждом
элементарном преобразовании базиса матрица билинейной формы
претерпевает преобразсвание, состоящее в аналогичном действии над
системой ее строк с последующим таким же действием над системой
столбцов полученной матрицы.
   Доказательство. Высказанное утверждение – очевидное следствие
определения матрицы квадратичной формы. ‚
                                                     –18–

Страницы