Механика. Афанасьев А.Д. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

82
Уравнения (6), (7), (8) дают для коэффициента восстановления
следующее значение:
n
n
S
S
k
1
1
= , (9)
где
1
S - расстояние, проходимое шаром до первого соударения,
n
S -
расстояние, проходимое шаром после соударения
n
- го удара. Формула (9)
получена в предположении, что сил трения нет.
Применим законы сохранения (1) и (2) для абсолютно упругого
центрального удара двух шаров, массы которых
1
m и
2
m , векторы скорости
соответственно
1
υ
r
и
1
υ
r
′
,
2
υ
r
и
2
υ
r
′
:
2
2
1
2
2
1
1
υ
υ
υ
υ
r
r
r
r
′
+
′
=
+
mmmm , (10)
2
2
2
2
2211
2
22
2
11
υυυυ
r
r
mmmm
+
′
=+ . (11)
Эти уравнения определяют векторы скорости шаров
1
υ
r
′
и
2
υ
r
′
после
соударения. Для нахождения последних напишем уравнения (10) и (11)
соответственно в виде:
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
υ
υ
υ
υ
′
−
−
=
′
−
r
r
r
r
mm , (12)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
′
+
′
−
−
=
′
+
′
−
r
r
r
r
r
r
r
r
mm . (13)
Разделив уравнение (12) на уравнение (13), получим:
(
)
2
1
2
1
υ
υ
υ
υ
′
−
−
=
′
−
r
r
r
r
. (14)
Знак минус означает, что относительная скорость после удара изменяет
свое направление. Если удар неупругий
(
)
10
<
<
k , то вместо уравнения (14)
необходимо воспользоваться уравнением (4), записав его для векторов
скорости, аналогично уравнению (12):
(
)
(
)
2
1
2
1
υ
υ
υ
υ
′
−
−
=
′
−
r
r
r
r
k . (15)
Теперь можно найти искомые скорости шаров после не абсолютно
упругого удара. Для этого разрешим уравнение (15) относительно
2
υ
r
′
и
подставим его значение в уравнение (10). Получим выражение для скорости
1
υ
r
′
. Таким же способом, подставим значение
1
υ
r
′
из уравнения (15) в
уравнение (10), найдем скорость второго шара после удара:
(
)
(
)
2
1
22121
1
1
mm
kmkmm
+
+
+
−
=
′
υ
υ
υ
r
r
r
,
(
)
(
)
2
1
11212
2
1
mm
kmkmm
+
+
+
−
=
υ
υ
υ
r
r
r
. (16)
Учитывая знаки скоростей
1
υ+
,
2
υ
′
+
,
2
υ−
,
1
υ
′
−
, а также равенство
масс
2
1
mm
=
, получим из (16):
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                Уравнения (6), (7), (8) дают для коэффициента восстановления
            следующее значение:
                                                              1
                                                        Sn  n
                                                  k =   ,                                 (9)
                                                        S1 
            где S1 - расстояние, проходимое шаром до первого соударения, S n -
            расстояние, проходимое шаром после соударения n - го удара. Формула (9)
            получена в предположении, что сил трения нет.
                Применим законы сохранения (1) и (2) для абсолютно упругого
            центрального удара двух шаров, массы которых m1 и m2 , векторы скорости
                            r r r           r
            соответственно υ1 и υ1′ , υ 2 и υ 2′ :
                                          r        r   r       r
                                      m1υ1 + m2υ 2 = m1υ1′ + m2υ 2′ ,           (10)
                                                         r     r
                                          m1υ12 m2υ 22 m1υ1′ m2υ 2
                                               +      =     +      .                         (11)
                                            2    2      2     2                    r   r
                  Эти уравнения определяют векторы скорости шаров υ1′ и υ 2′ после
            соударения. Для нахождения последних напишем уравнения (10) и (11)
            соответственно в виде:
                                             r r                 r      r
                                         m1 (υ1 − υ1′ ) = − m2 (υ 2 − υ 2′ ) ,            (12)
                               r r r r                        r     r r         r
                           m1 (υ1 − υ1′ )(υ1 + υ1′ ) = −m2 (υ 2 − υ 2′ )(υ 2 + υ 2′ ) .   (13)
                  Разделив уравнение (12) на уравнение (13), получим:
                                                       r r            r r
                                                       υ1 − υ 2′ = −(υ1 − υ 2′ ).         (14)
                  Знак минус означает, что относительная скорость после удара изменяет
            свое направление. Если удар неупругий (0 < k < 1) , то вместо уравнения (14)
            необходимо воспользоваться уравнением (4), записав его для векторов
            скорости, аналогично уравнению (12):
                                                   r r             r r
                                               k (υ1 − υ 2′ ) = −(υ1 − υ 2′ ) .           (15)
                  Теперь можно найти искомые скорости шаров после не абсолютно
                                                                                        r
            упругого удара. Для этого разрешим уравнение (15) относительно υ 2′ и
            подставим его значение в уравнение (10). Получим выражение для скорости
             r                                                         r
            υ1′ . Таким же способом, подставим значение υ1′ из уравнения (15) в
            уравнение (10), найдем скорость второго шара после удара:
                                                r                r
                                 r (m1 − m2 k )υ1 + m2 (1 + k )υ 2
                                 υ1′ =                               ,
                                               m1 + m2
                                    r   (m2 − m1k )υr2 + m1 (1 + k )υr1
                                   υ2 =                                 .                    (16)
                                                 m1 + m2
                Учитывая знаки скоростей + υ1 , + υ 2′ , − υ 2 ,        − υ1′ , а также равенство
            масс m1 = m2 , получим из (16):
                                                       82
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы