Механика. Афанасьев А.Д. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

96
Результирующее смещение каждого сечения стержня будет
определяться выражением (6):
)()(
2
1
kxtikxti
BeAe
+
−
+=+=
ω
ω
ξξξ (11)
и граничными условиями:
0
=ξ
при 2lx
=
(12)
и
0=
∂
x
ξ
при
lx
x
=
=
0
} (13)
Первое граничное условие означает, что в месте зажима будет
находиться узел стоячей волны; а второе – что на концах стержня
возбуждаются пучности.
Используя граничное условие (13):
0
)()(
=+−=
∂
+− kxtikxti
BikeAike
x
ωω
ξ
.
При
0=x
0
=
−
titi
Aike
Bike
ω
ω
.
Отсюда А=В, т.е. отражаясь от менее плотной среды, волна не меняет
фазы в месте отражения, потери полуволны не происходит, фазы падающей и
отраженной волн у границы одинаковы.
Таким образом, смещение
ξ
определяется выражением
kxAeeeAe
tiikxikxti
cos2)(
ω
ω
ξ =+=
−
, (14)
которое было получено с применением формул Эйлера.
Убедимся в том, что рассмотренная выше волна (14) может
существовать только при строго определенных частотах колебаний. Это
обстоятельство следует из условия (9):
0
=ξ
при 2lx
=
. Отсюда получаем,
что 0
2
cos =
l
k . Это равенство возможно, если
2
)12(
2
2
2
π
λ
π
+=⋅=⋅ n
ll
k , (15)
здесь положено
λ
π
ω
2
==
C
k .
Из (15) получаем условие существования стоячей волны:
4
)12(
2
λ
+= n
l
, (16)
где
,...
2
,
1,0
=
n
Итак, когда стержень закреплен посередине, в месте зажима будет
находиться узел стоячей волны, а на концах стержня возбуждаются
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                Результирующее смещение                   каждого         сечения     стержня   будет
            определяться выражением (6):
                           ξ = ξ1 + ξ 2 = Ae i (ω t −kx ) + Be i (ω t + kx )                     (11)
            и граничными условиями:
                                           ξ =0           при     x=l 2                          (12)
            и
                                           ∂ξ                   x=0
                                              =0          при         }                          (13)
                                           ∂x                   x=l
                Первое граничное условие означает, что в месте зажима будет
            находиться узел стоячей волны; а второе – что на концах стержня
            возбуждаются пучности.
                Используя граничное условие (13):
                                ∂ξ
                                   = − Aike i (ω t − kx) + Bike i (ω t + kx ) = 0 .
                                ∂x
                  При x = 0
                                 Bike iω t − Aike iω t = 0 .
                Отсюда А=В, т.е. отражаясь от менее плотной среды, волна не меняет
            фазы в месте отражения, потери полуволны не происходит, фазы падающей и
            отраженной волн у границы одинаковы.
                Таким образом, смещение ξ определяется выражением
                           ξ = Ae iω t (e −ikx + e ikx ) = 2 Ae iω t cos kx ,                    (14)
            которое было получено с применением формул Эйлера.
                Убедимся в том, что рассмотренная выше волна (14) может
            существовать только при строго определенных частотах колебаний. Это
            обстоятельство следует из условия (9): ξ = 0 при x = l 2 . Отсюда получаем,
                      l
            что cos k   = 0 . Это равенство возможно, если
                      2
                                        l 2π l              π
                                     k⋅ =       ⋅ = (2n + 1) ,                                   (15)
                                        2 λ 2               2
                                 ω 2π
            здесь положено k = =         .
                                 C λ
                  Из (15) получаем условие существования стоячей волны:
                                          l           λ
                                            = (2n + 1) ,                                         (16)
                                          2           4
            где n = 0,1,2,...
                Итак, когда стержень закреплен посередине, в месте зажима будет
            находиться узел стоячей волны, а на концах стержня возбуждаются


                                                         96
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы