Молекулярная физика. Афанасьев А.Д - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

86
2
2
отн
33
22
22
отн
(,).
22
mV
MV
kTkT
Mm
fVVee
πκπκ
−−

=

ΤΤ

Vde
M
kT
MV
r
3
2
2
3
2
2
−
Τπκ
отн
kT
mV
Vde
m
отн
r
3
2
2
3
2
2
−
Τπκ
Здесь
V
r
- скорость центра масс системы двух частиц,
отн
V
– относительная
скорость этих молекул. Как видно из выражения (2), преобразование
линейное и Якобиан преобразования
(
)
( )
отн
VV
VV
rr
r
r
,
,
21
∂
∂
=1 (доказать), следовательно
отн
VdVdVdVd
r
r
r
=
21
.
(3)
С учетом теоремы умножения вероятности независимых событий,
функция распределения молекул по скоростям есть произведение функций
Максвелла
22
1122
33
22
12
22
12
22
mVmV
kTkT
mm
fffee
πκπκ
−−

==

ΤΤ

.
(4)
Соответственно в новых координатах (2) показатель степени запишется:
,
2
2
2
2
2
22
22
2
11 отн
mVMVVmVm
+=+
где
21
mmM
+
=
–масса системы;
21
21
mm
mm
m
+
=
–приведенная масса
Таким образом, вероятность того, что система двух частиц имеет
скорость в «объеме» пространства скоростей
Vd
r
3
и
отн
Vd
r
3
равна
отн
kT
mV
kT
MV
отнотн
Vde
m
Vde
M
VdVdVVf
отн
rrrr
3
2
2
3
3
2
2
3
33
2
2
22
),(
−−
Τ
Τ
=
πκπκ
.
Очевидно, что
- вероятность для скорости всей системы, а
- вероятность для относительной скорости
молекул.
Тогда искомая средняя относительная скорость равна
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                r
          Здесь V - скорость центра масс системы двух частиц, Vотн – относительная
          скорость этих молекул. Как видно из выражения (2), преобразование
                                                          (    )
                                              r r
                                           ∂ V1 , V2
                                                         (      )
          линейное и Якобиан преобразования r r =1 (доказать), следовательно
                                           ∂ V ,Vотн
                                   r r       r r
                                 dV1 dV 2 = dVdVотн .                      (3)
               С учетом теоремы умножения вероятности независимых событий,
          функция распределения молекул по скоростям есть произведение функций
          Максвелла
                                                3    mV2             3   m V2
                                       m1  2 − 21kT1  m2  2 − 22kT2
                         f = f1 f 2 =        e              e               .                     (4)
                                       2πκΤ           2πκΤ 
          Соответственно в новых координатах (2) показатель степени запишется:
                                           2
          m1V12 m2V22 MV 2 mVотн
               +     =    +      , где M = m1 + m2 –масса системы;
            2    2     2     2
                m1m2
          m=           –приведенная масса
               m1 + m2
                                                     3        MV 2          3       mVотн 2
                                           M  2 − 2 kT  m  2 −
                          f (V , Vотн ) =         e            e
                                                                                     2 kT
                                                                                              .
                                           2πκ Τ        2πκ Τ 
               Таким образом, вероятность того, что система двух частиц имеет
                                                        r    3
                                                               r
          скорость в «объеме» пространства скоростей d 3V и d V отн равна
                                                          3      2              3       2
                                  r 3r       M  2 − 2 kT 3 r  m  2 − 2 kT
                                                       MV                 mVотн
                                                                                   r
                    f (V ,Vотн )d Vd Vотн = 
                                     3
                                                    e    d V         e       d 3Vотн .
                                             2πκΤ             2πκΤ 
          Очевидно, что
                    3       2

           M  2 − 2 kT 3 r - вероятность для скорости всей системы, а
                     MV

                 e    d V
           2πκΤ 
                    3   mVотн 2
           m  2 −                  r
                 e     2 kT
                                  d 3Vотн - вероятность       для    относительной                скорости
           2πκΤ                           молекул.

          Тогда искомая средняя относительная скорость равна


                                                     86
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы