Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 65 стр.

Поэтому для I2 , с учетом леммы 16, последовательно находим

              I2 = Pn Hxn − Pn HPns (hxn )∞ ≤ Hxn − HPns (hxn )∞ =

      = H(h − Pns h)xn ∞ ≤ h − Pns h∞,1 · xn ∞ ≤ ωs (h; 2/n)∞ · xn X .   (5.25)
Из (5.23)–(5.25) находим

          εn ≡ K − Kn Xn →X ≤ ωt (h; 2/n)∞ + ωs (h; 2/n)∞ } → 0, n → ∞,

что влечет за собой однозначную разрешимость уравнения (5.22), хотя бы для доста-
точно больших n, а следовательно, и СЛАУ (5.19), при этом Kn−1 Xn →Xn = O(1), n →
∞. Остается заметить, что

                     δn ≡ y − Pn y∞ ≤ ω(y; 2/n)∞ → 0, n → ∞,

чтобы получить утверждение теоремы и ее следствия.
   Замечания. 1. Аналогичные утверждения можно получить для метода меха-
нических квадратур, построенного на основе квадратурной формулы трапеций, при
этом скорость сходимости может достигать по порядку величины n−2 .
   2. Сплайн–методы обладают, как хорошо известно, свойством насыщаемости. По-
этому прямые методы, основанные на сплайн–аппроксимации функций, целесообраз-
но применять лишь в случае недостаточной гладкости данных функций y(t) и h(t, s).
   3. Для интегрального уравнения Вольтерра второго рода особых трудностей в
обосновании сплайн–методов, как правило, не возникает. Тем не менее, следует от-
метить, что оператор сплайн–проектирования основного пространства X в подпро-
странство Xn здесь по–прежнему нельзя внести под знак интегрального оператора
(см., напр., обоснование полиномиального метода коллокации в § 4).

   В заключение отметим, что в пособии нами рассмотрены лишь вопросы обосно-
вания прямых методов решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтер-
ра второго рода с достаточно "хорошими"ядрами, в частности, с так называемы-
ми фредгольмовыми ядрами. Тем не менее некоторые теоремы, сформулированные
в терминах полной непрерывности интегрального оператора, позволяют получить
обоснование соответствующего прямого метода и для некоторых других классов ин-
тегральных уравнений (см., напр., соответствующие результаты из [32], касающиеся
полной непрерывности интегральных операторов со слабо сингулярными ядрами).
Кроме того, мы не рассматривали случай, когда интегральный оператор, задаваемый
интегралом в левой части уравнения, не обязательно является вполне непрерывным
в рассматриваемом пространстве, но является малым по норме. В связи с этим отме-
тим, что для большинства исследованных нами прямых методов сформулированные
выше результаты сохраняются и, более того, усиливаются. В частности, удается до-
казать однозначную разрешимость соответствующей СЛАУ при любых натуральных
n. И, наконец, в пособии мы вообще не затрагивали вопросов устойчивости и обу-
словленности прямых методов (по этому поводу см., напр., в [9, 11, 12, 2]). Однако
заметим, что при выполнении условий леммы 1 из хорошей обусловленности исходно-
го уравнения, как правило, вытекает хорошая обусловленность аппроксимирующих
уравнений, а также устойчивость исследуемого прямого метода.

                                           65