Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 5.3. В условиях теоремы 5.2 СЛАУ (5.15) имеет единственное реше-
ние {c
∗
k
} при всех n, начиная хотя бы с некоторого. Приближенные решения x
∗
n
(t),
построенные по формуле (5.14) при c
k
= c
∗
k
, равномерно сходятся к точному реше-
нию x
∗
(t) со скоростью, определяемой любым из порядковых соотношений:
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{E
1
n
(x
∗
)
∞
};(5.16)
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{E
1
n
(y)
∞
+ E
1
n
T
(h)
∞,1
}, (5.17)
где E
1
n
(z)
∞
есть наилучшее равномерное приближение функции z(t) сплайнами ви-
да (5.14), а E
1
n
T
(h)
∞,1
– частное наилучшее приближение функции h ∈ C × L
1
по
переменной t сплайнами вида (5.14).
Следствие. Пусть функции y и h (по переменной t) принадлежат классу Гель-
дера W
r
H
γ
,гдеr ≥ 0 – целое, 0 <γ≤ 1. Тогда скорость сходимости приближенных
решений к точному может быть охарактеризована порядковым соотношением
x
∗
− x
∗
n
∞
= O(n
−r−γ
),r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
Отметим, что доказательство теоремы 5.3 аналогично доказательству теоремы
5.2. Поэтому приведем лишь основные отличия. За основное пространство берется
пространство C[−1, 1], за подпространство X
n
– множество функций вида (5.14), и
при доказательстве близости операторов и правых частей уравнений (5.7) и (5.8)
используется следствие 2 к лемме 16.
5.3. Метод механических квадратур. Для определенности вычислительную схему
метода механических квадратур построим на основе квадратурной формулы правых
прямоугольников по узлам (5.2):
+1
−1
z(s) ds ≈
2
n
n
k=1
z(t
k
),z∈ C[−1, 1]. (5.18)
Заменим в левой части уравнения (5.1) интеграл по квадратурной формуле (5.18)
и потребуем, чтобы левая и правая части уравнения (5.1) после такой замены совпа-
дали в узлах (5.2). В результате относительно приближенных значений {c
k
= x
n
(s
k
)}
решения уравнения (5.1) получим следующую СЛАУ:
c
j
+
2
n
n
k=1
h(t
j
,t
k
) c
k
= y(t
j
),j= 1,n. (5.19)
Если система (5.19) однозначно разрешима, то восстановить решение можно с помо-
щью интерполяционного сплайна нулевого порядка, построенного по узлам (5.2):
x
n
(t)=
n
k=1
c
k
ψ
k
(t). (5.20)
Для вычислительной схемы (5.1), (5.20), (5.19) имеет место
63
   Теорема 5.3. В условиях теоремы 5.2 СЛАУ (5.15) имеет единственное реше-
ние {c∗k } при всех n, начиная хотя бы с некоторого. Приближенные решения x∗n (t),
построенные по формуле (5.14) при ck = c∗k , равномерно сходятся к точному реше-
нию x∗ (t) со скоростью, определяемой любым из порядковых соотношений:

                              x∗ − x∗n ∞ = O{En1 (x∗ )∞ };                 (5.16)

                      x∗ − x∗n ∞ = O{En1 (y)∞ + En1 T (h)∞,1 },            (5.17)
где En1 (z)∞ есть наилучшее равномерное приближение функции z(t) сплайнами ви-
да (5.14), а En1 T (h)∞,1 – частное наилучшее приближение функции h ∈ C × L1 по
переменной t сплайнами вида (5.14).

   Следствие. Пусть функции y и h (по переменной t) принадлежат классу Гель-
дера W r Hγ , где r ≥ 0 – целое, 0 < γ ≤ 1. Тогда скорость сходимости приближенных
решений к точному может быть охарактеризована порядковым соотношением

                     x∗ − x∗n ∞ = O(n−r−γ ), r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.

    Отметим, что доказательство теоремы 5.3 аналогично доказательству теоремы
5.2. Поэтому приведем лишь основные отличия. За основное пространство берется
пространство C[−1, 1], за подпространство Xn – множество функций вида (5.14), и
при доказательстве близости операторов и правых частей уравнений (5.7) и (5.8)
используется следствие 2 к лемме 16.

   5.3. Метод механических квадратур. Для определенности вычислительную схему
метода механических квадратур построим на основе квадратурной формулы правых
прямоугольников по узлам (5.2):

                       +1
                                    2
                                       n
                          z(s) ds ≈       z(tk ), z ∈ C[−1, 1].              (5.18)
                                    n k=1
                       −1


   Заменим в левой части уравнения (5.1) интеграл по квадратурной формуле (5.18)
и потребуем, чтобы левая и правая части уравнения (5.1) после такой замены совпа-
дали в узлах (5.2). В результате относительно приближенных значений {ck = xn (sk )}
решения уравнения (5.1) получим следующую СЛАУ:

                              2
                                 n
                       cj +         h(tj , tk ) ck = y(tj ), j = 1, n.       (5.19)
                              n k=1

Если система (5.19) однозначно разрешима, то восстановить решение можно с помо-
щью интерполяционного сплайна нулевого порядка, построенного по узлам (5.2):

                                                
                                                n
                                     xn (t) =         ck ψk (t).             (5.20)
                                                k=1


   Для вычислительной схемы (5.1), (5.20), (5.19) имеет место


                                                63

Страницы