Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 61 стр.

   Замечание. Утверждения теоремы 5.1 и ее следствия сохраняются, если вычис-
лительная схема метода подобластей строится на произвольной сетке узлов (1.16),
удовлетворяющей условию (1.17).

   5.2. Метод коллокации. Приближенное решение уравнения (5.1) будем искать в
виде сплайна (5.3) с узлами (5.2), а неизвестные коэффициенты {ck } определим из
условий
                            [Kxn − y](tj ) = 0, j = 1, n.                  (5.10)
Условия (5.10) дают СЛАУ n–го порядка вида (5.4), где

                                       αkj = K(ψk ; tj ), yj = y(tj ).       (5.11)

   Для вычислительной схемы метода коллокации (5.1), (5.2), (5.4), (5.11) имеет
место

   Теорема 5.2. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C[−1, 1];
   2) ядро h ∈ C[−1, 1] × L1 ;
   3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (5.1), имеет лишь нуле-
вое решение.
    Тогда СЛАУ (5.4), (5.11) имеет единственное решение {c∗k }, хотя бы при всех
достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x∗n (t), построенные
по формуле (5.3) при ck = c∗k , k = 1, n, равномерно сходятся к точному решению
x∗ (t) уравнения (5.1) со скоростью, определяемой любым из порядковых соотноше-
ний:
                         sup |x∗ (t) − x∗n (t)| = O{ω(x∗ ; 1/n)∞ };        (5.12)
                                   t

                 sup |x∗ (t) − x∗n (t)| = O{ω(y; 1/n)∞ + ωt (h; 1/n)∞,1 }.   (5.13)
                      t


   Следствие 1. Если h(t, s) ∈ C([−1, 1]2 ), то скорость сходимости может быть
охарактеризована порядковым соотношением

                  sup |x∗ (t) − x∗n (t)| = O{ω(y; 1/n)∞ + ωt (h; 1/n)∞ }.
                          t



   Следствие 2. Пусть функции y и h таковы, что решение x∗ ∈ Hγ , где 0 < γ ≤ 1.
Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая оценка

                              sup |x∗ (t) − x∗n (t)| = O(n−γ ), 0 < γ ≤ 1.
                               t


   Доказательство. В пространстве X = Y = M [−1, 1] ограниченных на [−1, 1]
функций уравнение (5.1) запишем в виде операторного уравнения (5.7), где оператор
K, как и в методе подобластей, в пространстве X имеет ограниченный обратный K −1 .
  Запишем систему (5.4), (5.11) в операторной форме. Для этого в пространстве
X введем подпространства Xn = Yn функций вида (5.2), и пусть Sn0 : X −→ Xn

                                                     61