Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5.1. Метод подобластей. На сегменте [−1, 1] выберем равномерную сетку узлов
t
k
= −1+
2k
n
,k=
0,n. (5.2)
Приближенное решение уравнения (5.1) будем искать в виде сплайна нулевого
порядка на сетке (5.2):
x
n
(t)=
n
k=1
c
k
ψ
k
(t),ψ
k
(t)=s
0
n,k
(t), (5.3)
а его неизвестные коэффициенты {c
k
} определим из условий
t
j
t
j−1
[Kx
n
(t) − y(t)] dt =0,j= 1,n.
Ясно, что эти условия относительно коэффициентов {c
k
} представляют СЛАУ вида
n
k=1
α
kj
c
k
= y
j
,j= 1,n, (5.4)
где
α
kj
= δ
kj
+
t
j
t
j−1
t
k
t
k−1
h(t, s) ds dt, y
j
=
t
j
t
j−1
y(t) dt. (5.5)
Для вычислительной схемы метода подобластей (5.1), (5.2), (5.4)–(5.5) имеют ме-
сто следующие результаты.
Теорема 5.1. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ L
p
, 1 ≤ p ≤∞(L
∞
≡ C);
2) ядро h ∈ L
p
× L
q
,гдеq – сопряженное с p число;
3) уравнение (5.1) имеет единственное решение при любой правой части из L
p
.
Тогда СЛАУ (5.4)–(5.5) также имеет единственное решение {c
∗
k
}, хотя бы при
всех достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x
∗
n
(t), постро-
енные по формуле (5.3) при c
k
= c
∗
k
,k= 0,n, сходятся к точному решению x
∗
(t)
уравнения (5.1) в пространстве L
p
со скоростью, определяемой порядковыми соот-
ношениями:
x
∗
− x
∗
n
L
p
= O{ω(x
∗
;1/n)
p
};(5.6)
x
∗
− x
∗
n
L
p
= O{ω(y;1/n)
p
+ ω
t
(h;1/n)
p,q
}, (5.6)
где ω(z; δ)
p
есть интегральный модуль непрерывности функции z ∈ L
p
сшагомδ,а
ω
t
(h; δ)
p,q
– частный интегральный модуль непрерывности функции h(t, s) ∈ L
p
×L
q
по переменной t сшагомδ.
59
      5.1. Метод подобластей. На сегменте [−1, 1] выберем равномерную сетку узлов

                                                   2k
                                    tk = −1 +         , k = 0, n.                      (5.2)
                                                   n

   Приближенное решение уравнения (5.1) будем искать в виде сплайна нулевого
порядка на сетке (5.2):

                                      
                                      n
                           xn (t) =         ck ψk (t), ψk (t) = s0n,k (t),             (5.3)
                                      k=1

а его неизвестные коэффициенты {ck } определим из условий

                            tj
                                  [Kxn (t) − y(t)] dt = 0, j = 1, n.
                           tj−1


Ясно, что эти условия относительно коэффициентов {ck } представляют СЛАУ вида

                                    
                                    n
                                          αkj ck = yj , j = 1, n,                      (5.4)
                                    k=1

где
                                     tj tk                          tj
                      αkj = δkj +              h(t, s) ds dt, yj =          y(t) dt.   (5.5)
                                    tj−1tk−1                         tj−1


   Для вычислительной схемы метода подобластей (5.1), (5.2), (5.4)–(5.5) имеют ме-
сто следующие результаты.

      Теорема 5.1. Пусть выполнены условия:
      1) y ∈ Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ (L∞ ≡ C);
      2) ядро h ∈ Lp × Lq , где q – сопряженное с p число;
      3) уравнение (5.1) имеет единственное решение при любой правой части из Lp .
   Тогда СЛАУ (5.4)–(5.5) также имеет единственное решение {c∗k }, хотя бы при
всех достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x∗n (t), постро-
енные по формуле (5.3) при ck = c∗k , k = 0, n, сходятся к точному решению x∗ (t)
уравнения (5.1) в пространстве Lp со скоростью, определяемой порядковыми соот-
ношениями:
                          x∗ − x∗n Lp = O{ω(x∗ ; 1/n)p };                (5.6)
                       x∗ − x∗n Lp = O{ω(y; 1/n)p + ωt (h; 1/n)p,q },                (5.6)
где ω(z; δ)p есть интегральный модуль непрерывности функции z ∈ Lp с шагом δ, а
ωt (h; δ)p,q – частный интегральный модуль непрерывности функции h(t, s) ∈ Lp × Lq
по переменной t с шагом δ.



                                                   59

Страницы