Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие. Пусть функции y и h таковы, что решение x
∗
∈ H
γ
p
,где0 <γ≤ 1.
Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
L
p
= O(n
−γ
), 0 <γ≤ 1.
Доказательство. Введем в рассмотрение пространство X = Y = L
p
снормой
x
p
≡x
L
p
=
+1
−1
|x(t)|
p
dt
1/p
,x∈ L
p
.
В этом пространстве уравнение (5.1) запишем в виде операторного уравнения
Kx ≡ x + Hx = y (x, y ∈ X), (5.7)
где оператор H задается формулой
(Hx)(t)=
+1
−1
h(t, s)x(s) ds.
В условиях теоремы оператор H : X −→ X вполне непрерывен, и поэтому оператор
K в пространстве X имеет ограниченный обратный.
Запишем теперь систему (5.4)–(5.5) в операторной форме. Для этого в простран-
стве X введем подпространства X
n
= Y
n
сплайнов вида (5.3). Пусть U
0
n
(z; t) есть
сплайн нулевого порядка, интерполирующий средние значения функции z ∈ C[−1, 1]
на частичных промежутках [t
k−1
,t
k
].
Обозначив через P
n
= U
0
n
, нетрудно показать, что СЛАУ (4.4)–(4.5) эквивалентна
заданному в подпространстве X
n
операторному уравнению
K
n
x
n
≡ x
n
+ P
n
Hx
n
= P
n
y (x
n
∈ X
n
). (5.8)
Используя лемму 19, для правых частей уравнений (5.7) и (5.8) имеем
δ
n
≡y −P
n
y
p
≤ 2
1/p
ω(y;2/n)
p
→ 0,n→∞. (5.9)
Покажем теперь близость операторов K и K
n
на подпространстве X
n
. С этой
целью возьмем произвольный элемент x
n
∈ X
n
и оценим разность Kx
n
− K
n
x
n
.
Используя лемму 19 и неравенство Гельдера, последовательно находим
Kx
n
− K
n
x
n
X
= Hx
n
− P
n
Hx
n
p
≤ 2
1/p
ω(Hx
n
;2/n)
p
≤
≤ 2
1/p
ω
t
(h;2/n)
p,q
·x
n
p
,
откуда следует, что
ε
n
≡K − K
n
X
n
→X
≤ 2
1/p
ω
t
(h;2/n)
p,q
→ 0,n→∞.
Остается воспользоваться леммой 1, чтобы получить утверждения теоремы 5.1.
60
   Следствие. Пусть функции y и h таковы, что решение x∗ ∈ Hpγ , где 0 < γ ≤ 1.
Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая оценка

                            x∗ − x∗n Lp = O(n−γ ), 0 < γ ≤ 1.

   Доказательство. Введем в рассмотрение пространство X = Y = Lp с нормой

                                         +1           1/p
                        xp ≡ xLp   =     |x(t)|p dt      , x ∈ Lp .
                                           −1


В этом пространстве уравнение (5.1) запишем в виде операторного уравнения

                             Kx ≡ x + Hx = y         (x, y ∈ X),             (5.7)

где оператор H задается формулой

                                        +1
                               (Hx)(t) = h(t, s)x(s) ds.
                                            −1

В условиях теоремы оператор H : X −→ X вполне непрерывен, и поэтому оператор
K в пространстве X имеет ограниченный обратный.
   Запишем теперь систему (5.4)–(5.5) в операторной форме. Для этого в простран-
стве X введем подпространства Xn = Yn сплайнов вида (5.3). Пусть Un0 (z; t) есть
сплайн нулевого порядка, интерполирующий средние значения функции z ∈ C[−1, 1]
на частичных промежутках [tk−1 , tk ].
   Обозначив через Pn = Un0 , нетрудно показать, что СЛАУ (4.4)–(4.5) эквивалентна
заданному в подпространстве Xn операторному уравнению

                         Kn xn ≡ xn + Pn Hxn = Pn y        (xn ∈ Xn ).       (5.8)

Используя лемму 19, для правых частей уравнений (5.7) и (5.8) имеем

                      δn ≡ y − Pn yp ≤ 21/p ω(y; 2/n)p → 0, n → ∞.         (5.9)

   Покажем теперь близость операторов K и Kn на подпространстве Xn . С этой
целью возьмем произвольный элемент xn ∈ Xn и оценим разность Kxn − Kn xn .
Используя лемму 19 и неравенство Гельдера, последовательно находим

             Kxn − Kn xn X = Hxn − Pn Hxn p ≤ 21/p ω(Hxn ; 2/n)p ≤

                                ≤ 21/p ωt (h; 2/n)p,q · xn p ,
откуда следует, что

               εn ≡ K − Kn Xn →X ≤ 21/p ωt (h; 2/n)p,q → 0, n → ∞.

Остается воспользоваться леммой 1, чтобы получить утверждения теоремы 5.1.

                                                60

Страницы