Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

есть оператор сплайн–интерполирования нулевого порядка. Тогда СЛАУ (5.4), (5.11)
эквивалентна заданному в подпространстве X
n
операторному уравнению (5.8), где
P
n
= S
0
n
.
Покажем однозначную разрешимость уравнения (5.8). С этой целью возьмем про-
извольный элемент x
n
∈ X
n
и рассмотрим разность Kx
n
−K
n
x
n
. Учитывая неравен-
ство Гельдера и лемму 16, имеем
Kx
n
− K
n
x
n
X
= Hx
n
− P
n
Hx
n
= H[h − P
T
n
h]x
n
M
≤
≤x
n
M
·h − P
T
n
h
∞,1
≤ ω
t
(h;2/n)
∞,1
·x
n
M
.
Отсюда находим
ε
n
≡K − K
n
X
n
→X
≤ ω
t
(h;2/n)
∞,1
→ 0,n→∞.
Применяя лемму 1, получаем, что уравнение (5.8) и эквивалентная ему СЛАУ (5.4),
(5.11) однозначно разрешимы при всех натуральных n, для которых q
n
≡ ε
n
K
−1
<
1. Более того, из той же леммы 1 следует, что операторы K
−1
n
ограничены по норме
в совокупности.
Далее, для правых частей уравнений (5.7) и (5.8) имеем
δ
n
≡y − P
n
y
M
≤ ω(y;2/n)
∞
→ 0,n→∞,
что доказывает сходимость приближенных решений к точному в пространстве X со
скоростью
x
∗
− x
∗
n
= O(ε
n
+ δ
n
)=O{ω(y;1/n)
∞
+ ω
t
(h;1/n)
∞,1
}.
Для доказательства оценки (5.12) воспользуемся следствием 2 к лемме 2. Учиты-
вая лемму 16, получим
x
∗
− x
∗
n
M
≤
1+K
−1
n
X
n
→X
n
·P
n
C→M
·H
C→C
x
∗
− P
n
x
∗
M
=
= O(x
∗
− P
n
x
∗
M
)=O(ω(x
∗
;1/n)
∞
),
что и доказывает утверждение теоремы 5.2.
Будем теперь приближенное решение искать в виде сплайна первого порядка
x
n
(t)=
n
k=0
c
k
φ
k
(t),φ
k
(t)=s
1
n,k
(t), (5.14)
а неизвестные коэффициенты {c
k
} определим из условий
(Kx
n
)(t
j
)=y(t
j
),j= 0,n.
Ясно, что эти условия относительно коэффициентов {c
k
} дают СЛАУ вида
n
k=0
α
kj
c
k
= y
j
,j= 0,n. (5.15)
62
есть оператор сплайн–интерполирования нулевого порядка. Тогда СЛАУ (5.4), (5.11)
эквивалентна заданному в подпространстве Xn операторному уравнению (5.8), где
Pn = Sn0 .
   Покажем однозначную разрешимость уравнения (5.8). С этой целью возьмем про-
извольный элемент xn ∈ Xn и рассмотрим разность Kxn − Kn xn . Учитывая неравен-
ство Гельдера и лемму 16, имеем

            Kxn − Kn xn X = Hxn − Pn Hxn  = H[h − PnT h]xn M ≤

                 ≤ xn M · h − PnT h∞,1 ≤ ωt (h; 2/n)∞,1 · xn M .
Отсюда находим

                 εn ≡ K − Kn Xn →X ≤ ωt (h; 2/n)∞,1 → 0, n → ∞.

Применяя лемму 1, получаем, что уравнение (5.8) и эквивалентная ему СЛАУ (5.4),
(5.11) однозначно разрешимы при всех натуральных n, для которых qn ≡ εn K −1  <
1. Более того, из той же леммы 1 следует, что операторы Kn−1 ограничены по норме
в совокупности.
   Далее, для правых частей уравнений (5.7) и (5.8) имеем

                   δn ≡ y − Pn yM ≤ ω(y; 2/n)∞ → 0, n → ∞,

что доказывает сходимость приближенных решений к точному в пространстве X со
скоростью

             x∗ − x∗n  = O(εn + δn ) = O{ω(y; 1/n)∞ + ωt (h; 1/n)∞,1 }.

   Для доказательства оценки (5.12) воспользуемся следствием 2 к лемме 2. Учиты-
вая лемму 16, получим
                                                        
       x − xn M ≤ 1 + Kn Xn →Xn · Pn C→M · HC→C x∗ − Pn x∗ M =
         ∗    ∗            −1



                      = O(x∗ − Pn x∗ M ) = O(ω(x∗ ; 1/n)∞ ),
что и доказывает утверждение теоремы 5.2.
   Будем теперь приближенное решение искать в виде сплайна первого порядка
                                   
                                   n
                        xn (t) =         ck φk (t), φk (t) = s1n,k (t),     (5.14)
                                   k=0

а неизвестные коэффициенты {ck } определим из условий

                            (Kxn )(tj ) = y(tj ), j = 0, n.

Ясно, что эти условия относительно коэффициентов {ck } дают СЛАУ вида

                              
                              n
                                    αkj ck = yj , j = 0, n.                 (5.15)
                              k=0


                                              62

Страницы